Progressões Aritméticas

Uma progressão aritmética é uma sequência (finita ou infinita) $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ em que

$a_2-a_1=a_3-a_2=\dots=r.$

O número $r$ é chamado de razão.

Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, isto é, $a_n$ pode ser dado por:

$a_n=a_1+(n-1)r.$

Exemplo (Putnam)

Seja $x_1,x_2,x_3,\dots$ uma sequência de números reais que satisfaz

$x_n=\frac{x_{n-2}.x_{n-1}}{2x_{n-2}-x_{n-1}}$

para $n=3,4,5,\dots$. Estabelça uma condição necessária e suficiente para $x_1$ e $x_2$ tal que $x_n$ é inteiro para infinitos valores de $n$.

Solução: Vamos reescrever a igualdade do enunciado da seguinte maneira:

$\frac{1}{x_n}=\frac{2x_{n-2}-x_{n-1}}{x_{n-2}.x_{n-1}}=\frac{2}{x_{n-1}}-\frac{1}{x_{n-2}}.$

Se fizermos $a_n=\frac{1}{x_n}$, podemos escrevemos a condição acima da seguinte maneira:

$a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}.$

Para $n=3,4,5,\dots$, segue que

$a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=\dots$

ou seja, $a_1,a_2,a_3,\dots$ é uma progressão aritmética. Assim, podemos saber uma maneira de calcularmos $a_n$ e, com isso, calcularmos $x_n$. Observe que

$a_1=\frac{1}{x_1}$

$r=a_2-a_1=\frac{1}{x_2}-\frac{1}{x_1}.$

Pela Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética,

$a_n=\frac{x_2+(n-1)(x_1-x_2)}{x_1x_2},$

de onde segue que

$x_n=\frac{x_1x_2}{x_2+(n-1)(x_1-x_2)}.$

Se fizermos o n crescer, a tendência é que, para $n$ suficientemente grande, o módulo do denominador irá ficar maior que o do numerador e assim $|x_n|<1$, ou seja, $x_n$ será inteiro para uma quantidade infinita de valores de $n$.

Porém se "tirarmos a força" do $n$, então isso não pode acontecer. Como assim? Se fizermos $x_1=x_2$, segue que $x_n=x_1=x_2$ para todo $n \ge 3$. Logo, para a sequência tenha infinitos inteiros, basta que $x_1=x_2$ e que ambos sejam inteiros.

Referências Bibliográficas

[1] E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.