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Quadrilátero é um polígono de quatro lados. Podemos denotar um quadrilátero de vértices A, B, C e D por \sharp ABCD.

TrapéziosEditar

São quadriláteros que possuem pelo menos um par de lados opostos paralelos.

ParalelogramosEditar

São quadriláteros que possuem lados opostos paralelos.

Vantagens de Termos um Paralelogramo na Figura Editar

  • Ganhamos paralelismos
  • Ganhamos medidas iguais
  • Se soubermos uma das medidas, podemos saber todas as outras.

ProposiçãoEditar

(i) Ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

(ii) Ângulos opostos de um paralelogramo possuem mesma medida.

(iii) As diagonais de um quadrilátero se cruzam no ponto médio se, e somente se, ele for um paralelogramo.

LosangosEditar

Losangos são quadriláteros em que todos os lados possuem mesma medida.

ProposiçãoEditar

(i) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

(ii) As diagonais de um losango dividem-o em quatro triângulos congruentes.

RetângulosEditar

São quadriláteros que possuem todos os ângulos iguais a 90^{\circ}.

ObservaçãoEditar

Todo retângulo é um paralelogramo. Então toda propriedade de um paralelogramo também é propriedade de um retângulo.

Proposição Editar

As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

Exemplo (Cone Sul 1989) Editar

Seja ABCD um quadrado com diagonais AC e BD e P um ponto em um dos lados do quadrado. Mostre que a soma das distâncias de P até as diagonais é constante.

Solução:

Se mostrarmos que P depende apenas da medida do lado do quadrado (que chamaremos de l), nosso problema estará resolvido. Suponha sem perda de generalidade que P pertence ao segmento AB. Sejam Q e R pontos sobre AC e BD, respectivamente, tais que PQ e PR são perpendiculares a AC e BD, respectivamente. Mostraremos que PQ+PR depende apenas de l.

Olimpedia1

Seja O o ponto de encontro das diagonais. Os triângulos AQP e AOB são semelhantes, pois QP e OB são paralelos. Assim,

\frac{PQ}{OB}=\frac{AP}{AB} \Leftrightarrow PQ= OB.\frac{AP}{AB}.

Analogamente, como BRP e BOA são semelhantes, PR=OA.\frac{BP}{AB}.

Desta forma, como OB=OA,

PQ+PR=OB.\frac{AP}{AB}+OA.\frac{BP}{AB}=\frac{OB}{AB}.(AP+BP)=OB=\frac{l\sqrt{2}}{2}.

Portanto, PQ+PR é constante.

Como usar as propriedades do quadrilátero a seu favorEditar

Às vezes queremos provar que duas coisas são paralelas. Uma maneira interessante é encontrarmos paralelogramos na figura. Mas como provar que um quadrilátero é um paralelogramo?

ProposiçãoEditar

Se os lados opostos de um quadrilátero possuem a mesma medida, então ele é um paralelogramo.

ExemploEditar

Se ABCDEF é um hexágono regular, mostre que AF é paralelo a CD.

Solução:

Hexágono

Mostraremos que ACDF é um paralelogramo. Já sabemos que AF=CD. Se provarmos que AC=DF, ACDF será um paralelogramo e com isso AF será paralelo a CD.

Para mostrarmos esta igualdade, vamos usar congruências de triângulo. Observe que AB=FE e BC=ED. Além disso, \angle ABC= \angle FED. Logo ABC e FED são congruentes pelo caso LAL. Logo, AC=DF.

Exemplo (Cone Sul 1991) Editar

Sejam A, B e C três pontos não colineares e E (\neq B) um ponto arbitrário não pertencente a reta AC. Construa os paralelogramos ABCD e AECF. Prove que BE \parallel DF.

Solução:

Olimpédia

Um bom desenho pode te ajudar a conjecturar algo: parece, pela figura, que BF e DE são paralelos. Desta forma, se provarmos que BEDF é um paralelogramo, resolveremos o problema. Mas mexer com paralelismo parece um pouco chato. Só que, se provarmos que BE=DF e BF=DE, então BEDF será um paralelogramo.

Como podemos mostrar que BE=DF? Uma boa maneira é procurarmos alguma congruência na figura. Observe que AD=CB e AF=CE. Parece que os triângulos ADF e CBE são congruentes. Se provarmos isto, a igualdade BE=DF é mostrada. Para terminarmos de mostrar esta congruência, é suficiente provarmos que \angle DAF=\angle BCE.

Observe que

\angle DAF= \angle FAC+ \angle CAD

\angle BCE = \angle BCA + \angle ACE

Porém, \angle FAC = \angle ACE e \angle CAD = \angle BCA (pois eles são alternos internos). Desta forma, \angle DAF= \angle BCE, de onde segue que ADF e CBE são congruentes pelo caso LAL.

E para provarmos que BE=DF? Encontraremos outra congruência. Observe que AF=CE e AB=CD. Logo, basta provarmos que ABF e CDE são congruentes. Para isto, é suficiente mostrarmos que \angle BAF = \angle DCE. Repare que

\angle BAF= \angle FAC - \angle BAC

\angle DCE= \angle ACE - \angle ACD.

Além disso, \angle FAC=\angle ACE e \angle BAC=\angle ACD (pois eles são alternos internos). Deste modo, \angle BAF = \angle DCE, de onde segue que os triângulos ABF e CDE são congruentes e assim BE=DF.

Portanto, BEDF é um paralelogramo e BE é paralelo a DF.