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Proposição Editar

As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

Exemplo (Cone Sul) Editar

Seja ABCD um quadrado com diagonais AC e BD e P um ponto em um dos lados do quadrado. Mostre que a soma das distâncias de P até as diagonais é constante.

Solução:

Se mostrarmos que P depende apenas da medida do lado do quadrado (que chamaremos de l), nosso problema estará resolvido. Suponha sem perda de generalidade que P pertence ao segmento AB. Sejam Q e R pontos sobre AC e BD, respectivamente, tais que PQ e PR são perpendiculares a AC e BD, respectivamente. Mostraremos que PQ+PR depende apenas de l.

Olimpedia1

Seja O o ponto de encontro das diagonais. Os triângulos AQP e AOB são semelhantes, pois QP e OB são paralelos. Assim,

\frac{PQ}{OB}=\frac{AP}{AB} \Leftrightarrow PQ= OB.\frac{AP}{AB}.

Analogamente, como BRP e BOA são semelhantes, PR=OA.\frac{BP}{AB}.

Desta forma, como OB=OA,

PQ+PR=OB.\frac{AP}{AB}+OA.\frac{BP}{AB}=\frac{OB}{AB}.(AP+BP)=OB=\frac{l\sqrt{2}}{2}.

Portanto, PQ+PR é constante.

Como usar as propriedades do quadrilátero a seu favorEditar

Às vezes queremos provar que duas coisas são paralelas. Uma maneira interessante é encontrarmos paralelogramos na figura. Mas como provar que um quadrilátero é um paralelogramo?

ProposiçãoEditar

Se os lados opostos de um quadrilátero possuem a mesma medida, então ele é um paralelogramo.

ExemploEditar

Se ABCDEF é um hexágono regular, mostre que AF é paralelo a CD.

Solução:

Hexágono

Mostraremos que ACDF é um paralelogramo. Já sabemos que AF=CD. Se provarmos que AC=DF, ACDF será um paralelogramo e com isso AF será paralelo a CD.

Para mostrarmos esta igualdade, vamos usar congruências de triângulo. Observe que AB=FE e BC=ED. Além disso, \angle ABC= \angle FED. Logo ABC e FED são congruentes pelo caso LAL. Logo, AC=DF.

Exemplo (Cone Sul) Editar

Sejam A, B e C três pontos não colineares e E (\neq B) um ponto arbitrário não pertencente a reta AC. Construa os paralelogramos ABCD e AECF. Prove que BE \parallel DF.

Solução:

Olimpédia

Um bom desenho pode te ajudar a conjecturar algo: parece, pela figura, que BF e DE são paralelos. Desta forma, se provarmos que BEDF é um paralelogramo, resolveremos o problema. Mas mexer com paralelismo parece um pouco chato. Só que, se provarmos que BE=DF e BF=DE, então BEDF será um paralelogramo.

Como podemos mostrar que BE=DF? Uma boa maneira é procurarmos alguma congruência na figura. Observe que AD=CB e AF=CE. Parece que os triângulos ADF e CBE são congruentes. Se provarmos isto, a igualdade BE=DF é mostrada. Para terminarmos de mostrar esta congruência, é suficiente provarmos que \angle DAF=\angle BCE.

Observe que

\angle DAF= \angle FAC+ \angle CAD

\angle BCE = \angle BCA + \angle ACE

Porém, \angle FAC = \angle ACE e \angle CAD = \angle BCA (pois eles são alternos internos). Desta forma, \angle DAF= \angle BCE, de onde segue que ADF e CBE são congruentes pelo caso LAL.

E para provarmos que BE=DF? Encontraremos outra congruência. Observe que AF=CE e AB=CD. Logo, basta provarmos que ABF e CDE são congruentes. Para isto, é suficiente mostrarmos que \angle BAF = \angle DCE. Repare que

\angle BAF= \angle FAC - \angle BAC

\angle DCE= \angle ACE - \angle ACD.

Além disso, \angle FAC=\angle ACE e \angle BAC=\angle ACD (pois eles são alternos internos). Deste modo, \angle BAF = \angle DCE, de onde segue que os triângulos ABF e CDE são congruentes e assim BE=DF.

Portanto, BEDF é um paralelogramo e BE é paralelo a DF.

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