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Quadrilátero é um polígono de quatro lados. Podemos denotar um quadrilátero de vértices $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ por $ \# ABCD $.

TrapéziosEditar

São quadriláteros que possuem pelo menos um par de lados opostos paralelos. Os lados paralelos são chamados de base.

Se um trapézio possui os dois lados não paralelos iguais, diremos que ele é isósceles.

Propriedades Editar

  • As diagonais de um trapézio isósceles são iguais.

ParalelogramosEditar

São quadriláteros que possuem lados opostos paralelos.

Vantagens de Termos um Paralelogramo na Figura Editar

  • Ganhamos paralelismos
  • Ganhamos medidas iguais
  • Se soubermos uma das medidas, podemos saber todas as outras.

ProposiçãoEditar

(i) Ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.

(ii) Ângulos opostos de um paralelogramo possuem mesma medida.

(iii) As diagonais de um quadrilátero se cruzam no ponto médio se, e somente se, ele for um paralelogramo.

LosangosEditar

Losangos são quadriláteros em que todos os lados possuem mesma medida.

ProposiçãoEditar

(i) As diagonais de um losango são perpendiculares entre si.

(ii) As diagonais de um losango dividem-o em quatro triângulos congruentes.

RetângulosEditar

São quadriláteros que possuem todos os ângulos iguais a $ 90^{\circ} $.

ObservaçãoEditar

Todo retângulo é um paralelogramo. Então toda propriedade de um paralelogramo também é propriedade de um retângulo.

Proposição Editar

As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

Exemplo (Cone Sul 1989) Editar

Seja $ ABCD $ um quadrado com diagonais $ AC $ e $ BD $ e $ P $ um ponto em um dos lados do quadrado. Mostre que a soma das distâncias de $ P $ até as diagonais é constante.

Solução:

Se mostrarmos que $ P $ depende apenas da medida do lado do quadrado (que chamaremos de $ l $), nosso problema estará resolvido. Suponha sem perda de generalidade que $ P $ pertence ao segmento $ AB $. Sejam $ Q $ e $ R $ pontos sobre $ AC $ e $ BD $, respectivamente, tais que $ PQ $ e $ PR $ são perpendiculares a $ AC $ e $ BD $, respectivamente. Mostraremos que $ PQ+PR $ depende apenas de $ l $.

Olimpedia1

Seja $ O $ o ponto de encontro das diagonais. Os triângulos $ AQP $ e $ AOB $ são semelhantes, pois $ QP $ e $ OB $ são paralelos. Assim,

$ \frac{PQ}{OB}=\frac{AP}{AB} \Leftrightarrow PQ= OB.\frac{AP}{AB}. $

Analogamente, como $ BRP $ e $ BOA $ são semelhantes, $ PR=OA.\frac{BP}{AB}. $

Desta forma, como $ OB=OA $,

$ PQ+PR=OB.\frac{AP}{AB}+OA.\frac{BP}{AB}=\frac{OB}{AB}.(AP+BP)=OB=\frac{l\sqrt{2}}{2}. $

Portanto, $ PQ+PR $ é constante.

Como usar as propriedades do quadrilátero a seu favorEditar

Às vezes queremos provar que duas coisas são paralelas. Uma maneira interessante é encontrarmos paralelogramos na figura. Mas como provar que um quadrilátero é um paralelogramo?

ProposiçãoEditar

Se os lados opostos de um quadrilátero possuem a mesma medida, então ele é um paralelogramo.

ExemploEditar

Se $ ABCDEF $ é um hexágono regular, mostre que $ AF $ é paralelo a $ CD $.

Solução:

Hexágono

Mostraremos que $ ACDF $ é um paralelogramo. Já sabemos que $ AF=CD $. Se provarmos que $ AC=DF $, $ ACDF $ será um paralelogramo e com isso $ AF $ será paralelo a $ CD $.

Para mostrarmos esta igualdade, vamos usar congruências de triângulo. Observe que $ AB=FE $ e $ BC=ED $. Além disso, $ \angle ABC= \angle FED $. Logo $ ABC $ e $ FED $ são congruentes pelo caso $ LAL $. Logo, $ AC=DF $.

Exemplo (Cone Sul 1991) Editar

Sejam $ A $, $ B $ e $ C $ três pontos não colineares e $ E $ ($ \neq B $) um ponto arbitrário não pertencente a reta $ AC $. Construa os paralelogramos $ ABCD $ e $ AECF $. Prove que $ BE \parallel DF $.

Solução:

Olimpédia

Um bom desenho pode te ajudar a conjecturar algo: parece, pela figura, que $ BF $ e $ DE $ são paralelos. Desta forma, se provarmos que $ BEDF $ é um paralelogramo, resolveremos o problema. Mas mexer com paralelismo parece um pouco chato. Só que, se provarmos que $ BE=DF $ e $ BF=DE $, então $ BEDF $ será um paralelogramo.

Como podemos mostrar que $ BE=DF $? Uma boa maneira é procurarmos alguma congruência na figura. Observe que $ AD=CB $ e $ AF=CE $. Parece que os triângulos $ ADF $ e $ CBE $ são congruentes. Se provarmos isto, a igualdade $ BE=DF $ é mostrada. Para terminarmos de mostrar esta congruência, é suficiente provarmos que $ \angle DAF=\angle BCE $.

Observe que

$ \angle DAF= \angle FAC+ \angle CAD $

$ \angle BCE = \angle BCA + \angle ACE $

Porém, $ \angle FAC = \angle ACE $ e $ \angle CAD = \angle BCA $ (pois eles são alternos internos). Desta forma, $ \angle DAF= \angle BCE $, de onde segue que $ ADF $ e $ CBE $ são congruentes pelo caso $ LAL $.

E para provarmos que $ BE=DF $? Encontraremos outra congruência. Observe que $ AF=CE $ e $ AB=CD $. Logo, basta provarmos que $ ABF $ e $ CDE $ são congruentes. Para isto, é suficiente mostrarmos que $ \angle BAF = \angle DCE $. Repare que

$ \angle BAF= \angle FAC - \angle BAC $

$ \angle DCE= \angle ACE - \angle ACD. $

Além disso, $ \angle FAC=\angle ACE $ e $ \angle BAC=\angle ACD $ (pois eles são alternos internos). Deste modo, $ \angle BAF = \angle DCE $, de onde segue que os triângulos $ ABF $ e $ CDE $ são congruentes e assim $ BE=DF $.

Portanto, $ BEDF $ é um paralelogramo e $ BE $ é paralelo a $ DF $.