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Dizemos que um quadrilátero é inscritível (ou cíclico) se existe uma circunferência que passa pelos pontos , , e .

Quadriláteros inscritíveis definição

Às vezes é bom encontrarmos quadriláteros inscritíveis na figura, para podermos usar as suas propriedades.

Proposição[]

Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, a soma dos ângulos opostos é .

Soma dos ângulos opostos quadriláteros inscritíveis

Por exemplo, na figura, e .

Proposição[]

Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, ele possui um ângulo externo com mesma medida que a do ângulo oposto ao seu adjacente.

Quadrilaterosinscritiveisanguloexterno

Exemplo[]

Prove que um trapézio (que não é paralelogramo) é inscritível se, e somente se, é isósceles.

Solução: Seja este trapézio, de bases e .

() Como é inscritível,

Mas e são paralelos. Desta forma, se pertence ao prolongamento de tal que está entre e , então

Além disso,

Se combinarmos e ,

Com isso, é um trapézio isósceles.

() Como é isósceles e não é um paralelogramo,

Mas e são paralelos. Se pertence ao prolongamento de de forma que esteja entre e , então

Com isso,

de onde segue que o quadrilátero é inscritível.

Exemplo[]

Mostre que um quadrilátero é inscritível se, e somente se, as mediatrizes dos quatro lados se encontram em um único ponto.

Solução:  Se é inscritível existe uma circunferência que passa pelos pontos , , e . Seja o centro dessa circunferência. O ponto pertence a mediatrizes de todos os lados, pois ele é equidistante a todos os pontos. Logo, todas a mediatrizes se encontram em .

Seja o ponto de intersecção entre as quatro mediatrizes. Basta traçarmos uma circunferência de centro e raio  e esta passará pelos pontos , , e . Logo, é inscritível.

Exemplo (OBM 2021 - Nível 3)[]

Sejam um quadrilátero convexo no plano e , , e os circuncentros dos triângulos , , e , respectivamente. Suponha que esses quatro circuncentros sejam pontos distintos. Prove que esses pontos não estão em uma mesma circunferência.

Solução: Aqui, faremos uma prova por absurdo, isto é, vamos supor que o quadrilátero é cíclico e chegar a uma contradição. A primeira coisa a se notar é que como os quatro circuncentros são pontos distintos, o quadrilátero não é cíclico. E depois disso? Por onde começar? Vamos entender melhor quem são os lados de antes de supormos que ele é cíclico. Podemos ver que, como e são circuncentros de e , eles estão na mediatriz de ; mais do que isso, é a mediatriz de , assim como , e são as mediatrizes de , e , respectivamente. Faz sentido, então, prolongar essas mediatrizes até os pontos médios de . Seja o ponto médio de , e defina , e analogamente. Teremos algo como a figura abaixo:

Obm 2021 n3p1

Como são mediatrizes, , e as outras relações seguem analogamente, o que significa que , implicando que o quadrilátero um quadrilátero inscritível, pois seus ângulos opostos são suplementares. Por um motivo análogo, também é inscritível.

Vamos supor, por absurdo, que é cíclico. Então e são suplementares, mas como é inscritível, então e são suplementares, donde . Analogamente, como é inscritível, , donde e são suplementares, o que implica que é cíclico, um absurdo, porque os quatro pontos são distintos! Então não pode ser cíclico.

Exemplo (IMO Shortlist 2019)[]

Seja um triângulo. O círculo passa por , e intersecta os segmentos e em e , respectivamente, e o segmento nos pontos e , de forma que está entre e . A tangente ao circuncírculo de que passa por e a tangente ao circuncírculo de que passa por se encontram em . Prove que é paralelo a .

Solução. As tangências implicam que e , consequentemente,

Analogamente, .

IMO2019G1

Como o pentágono é inscritível, então e . Assim, pelo caso ALA, os triângulos e são congruentes, porque compartilham o lado . Consequentemente, eles têm a mesma altura e, portanto, e estão à mesma distância de , portanto, .

Exemplo (OBM 2003 - 3ª Fase - Nível 2)[]

O triângulo está inscrito na circunferência e . A reta que contém e é perpendicular a encontra em (). O ponto situa-se sobre o segmento e a reta intersecta em (). Mostre que se, e somente se, é um diâmetro de .

Solução: Existem possibilidades para onde o deve ficar. no arco que não contém ; no arco que não contém ou no arco que não contém .

Vejamos cada caso separadamente.

1º Caso: pertence ao arco que não contém .

OBM2003q2n3caso1

Basta pegarmos algum ponto (diferente de e ) tal que .

Vamos mexer com ângulos. Para isto, vamos aproveitar que : deste fato segue que . Chamaremos esta medida de . Se mostrarmos que , terminaremos o problema (pois isto implicaria que , de onde poderíamos concluir que é o diâmetro.

Observe que . Além disso, e "enxergam" o mesmo arco, segue que .

Considere . Calcularemos outras medidas em função de . Observe que e e "enxergam" o mesmo arco, onde segue que .

Vamos usar a hipótese, já que ainda não falamos dela. Como é o diâmetro, e assim . Pela Recíproca do Teorema do Triângulo Isósceles, .

2º Caso: pertence ao arco que não contém ;

OBM2003q2n3caso2

Basta provarmos que . Para isto, vamos marcar alguns ângulos na figura. Quais? Aqueles que podemos tirar informações legais. Por exemplo, é legal considerar , pois aí podemos usar que e concluir que . Também podemos usar é perpendicular a . Consideremos . Considere o ponto de encontro entre o prolongamento de e . Segundo o enunciado, pela definção de , . Além disso,

.

Vamos calcular e também em função de e , para depois usarmos o fato de que

.

Como a soma dos ângulos internos do triângulo é , segue que]

.

Além disso, e "enxergam" o mesmo arco, segue que . Desta forma,

.

Portanto, é diâmetro.

Façamos . Mostraremos que . Vamos procurar alguma forma de usar que é diâmetro. O que mais podemos usar a nosso favor? Que . Como , segue que

(basta usarmos que a soma dos ângulos internos de é ).

Como é diâmetro, segue que . Assim,

.

Portanto, (pois ambos "enxergam" o mesmo arco). Desta forma, .

3º Caso: pertence ao arco que não contém .

OBM2003q2n3caso3

Mostraremos que . Para isto, a estratégia aqui será a seguinte: mostraremos que

.

Consideremos (para podermos usar a hipótese). Para nos ajudar, definiremos também, . Sabemos que (pois eles "enxergam" o mesmo arco). Além disso,

.

Finalmente, , de onde segue que

.

Logo,

,

de onde segue que e assim, é diâmetro.

Considere , e . Provaremos que . Como é diâmetro, de onde segue que e assim . Vamos calcular novamente, porém em função de , e . Observe que (pois eles "enxergam" o mesmo arco). Além disso

,

de onde segue que

.

Finalmente, como a soma dos ângulos internos do triângulo é , segue que

.

Desta maneira,

.

Portanto, .

Exemplo (OBM 2016 - 3ª Fase - Nível 2)[]

Considere um triângulo com . A mediatriz do lado corta o lado no ponto e o prolongamento de no ponto . A mediatriz do lado corta o lado no ponto e o prolongamento do lado no ponto . Prove que o quadrilátero é cíclico, ou seja, que seus quatro vértices estão em uma mesma circunferência.

Solução: Sejam e os pontos médios de e . Por ser uma base média, . Além disso, os pontos e estão nas mediatrizes dos respectivos lados, ao passo que , indicando que o quadrilátero é inscritível.

Obm 2016 n2p4


Com isso, e, pelo paralelismo que enunciamos antes, . Como , o  quadrilátero é inscritível.

Exemplo (Cone Sul 2018)[]

Em um quadrilátero convexo tem-se que:

  • e são pontos no interior dos segmentos e , respectivamente, com e .
  • e são os pontos médios de e , respectivamente.
  • é o ponto médio de .

Sabendo que , demonstre que é um quadrilátero cíclico.

Solução: Já que o enunciado nos fala sobre a soma dos ângulos e é natural buscarmos usar isto para provar que a soma dos ângulos opostos do quadrilátero é . Vejamos se conseguimos relacionar esses ângulos.

Consideremos e os pontos médios de e respectivamente. Observe que e são bases médias dos triângulos e , respectivamente. Qual a vantagem de termos isto? Observe que

e

Se quisermos mostrar que , basta provarmos que . Mas aqui temos algo mais interessante: os ângulos e podem se relacionar de uma maneira melhor com os ângulos e . De fato, é ângulo externo ao triângulo que possui o ângulo . Da mesma forma, o ângulo é externo ao triângulo que possui o ângulo .

Para sabermos informações sobre os ângulos dos triângulos e , vamos extrair informações sobre seus lados. O enunciado nos deu informações sobre eles. Vamos ver se usamos elas para encontrar as medidas dos lados desses triângulos.

Cone sul 2018 p1

Se , então , pois é a base média do triângulo . Além disso, , de onde segue que . Conseguimos calcular em função de (já que queremos falar sobre os lados de que )? Como é ponto médio de , podemos considerar . Tomemos . Assim e . Mas é ponto médio de , de onde segue que

Desta forma, . Com isso, o triângulo é isósceles de base . Analogamente, o triângulo é isósceles de base . Se combinarmos isto com o Teorema do Ângulo Externo nos triângulos e ,

e

Assim

Desta forma, o quadrilátero é inscritível.

Exemplo (OBM 2005 - 3ª Fase - Nível 2)[]

No triângulo retângulo , os catetos e medem, respectivamente, e . Seja o ponto médio da hipotenusa e seja um ponto, distinto de , tal que e .

(a) Prove que é perpendicular a .

(b) Calcule a área do quadrilátero .

Solução:

(a) Como , segue que pertence a mediatriz de . Se mostrarmos que também pertence a essa mediatriz, terminaremos o problema. Se usarmos que é o ponto médio da hipotenusa e a hipótese , de onde segue que também pertence a mediatriz de .

(b) Observe que e . Resta calcularmos . Como aparece um ângulo reto, podemos usar a trigonometria. Observe que

.

Vamos tomar um ângulo fácil de calcularmos o seno e depois calcular em função dele. Façamos . Por que? É fácil calcularmos o seno e o cosseno deste ângulo, pois é um triângulo. De fato, e .

Como calcular em função de ? Note que como e é o ponto médio da hipotenusa, segue que este é um ponto equidistante de , , e . Logo, pertence a circunferência circunscrita ao triângulo . Legal: agora podemos chamar os ângulos na circunferência para nos ajudar.

OBM2005q2n2

Com a medida de conseguimos a medida do arco . Usemos o fato de que cordas iguais enxergam arcos iguais. Existe alguma outra corda que tem a mesma medida que ? Sim: segundo o enunciado . Desta forma, , de onde segue que . Se descobrirmos a medida de , conseguiremos a de .

Note que . Como é inscritível, segue que . Como a soma dos ângulos internos do triângulo é ^, segue que .

Desta forma,

.

Conseguimos calcular já que sabemos que e ? Sim. Observe que

.

Pela equação ,

.

Portanto,

Exemplo (IMO 2005)[]

Seja um quadrilátero fixo não convexo com e não paralelo a . Considere dois pontos variáveis e sobre os lados e , respectivamente e que satisfazem . As retas e se encontram em , e as retas e se encontram em , as retas e se encontram em .

Prove que os circuncírculos dos triângulos , conforme e variam, possuem um ponto comum além de .

Solução: Esse é um problema em que vale a pena fazer uma boa figura (com régua e compasso). Aliás, vale a pena fazer mais de uma boa figura. Algo que ajuda inclusive é fazer o quadrilátero de caneta e os pontos e (e os pontos que existem por causa deles) a lápis, afinal você pode apagar e fazer outros.

Também vale a pena pegar quadriláteros específicos. Um quadrilátero aqui que vale a pena pensar é no paralelogramo: quando fazemos a figura com régua e compasso, começamos a suspeitar que o circuncírculo de sempre passa pelo ponto de encontro das diagonais. O mesmo não parece valer para outros quadriláteros. O que o ponto de encontro das diagonais tem de especial no paralelogramo, mas não nos outros quadriláteros? Ele é o ponto médio de e de .

Quando pegamos um quadrilátero qualquer, o ponto por onde os circuncírculos passam não parecem ser pontos médios de e nem de . Mas será que não conseguimos enfraquecer um pouco a propriedade? Uma possível maneira é imaginar: o ponto de encontro das diagonais é equidistante de e de , além de ser equidistante de e de . Será que esse é um bom candidato? Se pensarmos que o conjunto dos pontos equidistantes é a mediatriz, defina como o ponto de encontro das mediatrizes de e . Com alguns desenhos, esse parece ser um bom candidato.

Como não depende de e nem de , se provarmos que são concíclicos, o problema acaba.

Devemos usar o máximo de informações possíveis. Por exemplo, como usar que pertence às mediatrizes de e ? Observe que por causa dessas informações, temos e . Ao usarmos essas duas informações, já parece que os triângulos e são congruentes. Só que vale mais uma coisa ainda: segundo o enunciado, . Desta forma, estes triângulos são congruentes pelo caso .

Já que estamos encontrando tantas coisas de mesma medida e temos uma igualdade entre segmentos ainda não utilizada (), faz sentido procurarmos outra congruência. Por causa dessa última igualdade e do fato de que , parece razoável suspeitar que os triângulos e são congruentes. Precisamos de mais um ângulo para provarmos isso. Note que, como e são congruentes, segue que . Desta forma, . Por isso, os triângulos e são congruentes.

Conseguimos ainda outra congruências. Observe que e (por causa da congruência entre e ), além de (afinal ). Por isso, os triângulos e são congruentes pelo caso .

Essas congruências nos ajudam com alguma coisa? Considere . Como , segue que . Note ainda que (por causa congruência entre e ). Por causa disso, . Como , podemos concluir que . Com isso, os pontos são concíclicos. Analogamente, o mesmo vale para .

Por sorte, o ângulo (que coincide com ) está tanto no quadrilátero formado por (que acabamos de mostrar que é inscritível) quanto no formado por (que queremos mostrar que é inscritível). Mais ainda, o ângulo (que coincide com ) está no quadrilátero formado por e no formado por (que queremos mostrar que é inscritível).

Por isso, faz sentido mirarmos em provar que . Repare que (pois o quadrilátero formados por é inscritível). Além disso, . Será que podemos relacionar com ? Lembre-se que os triângulos e são congruentes, de onde segue que . Desta forma,

Portanto, são concíclicos e assim todo circuncírculo de passa por .

Proposição[]

Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, o ângulo formado por uma diagonal e um lado é igual ao formado pela outra diagonal e o lado oposto.

Quadriláteros inscritíveis ângulos

Para usar esta propriedade, sempre tenha em mente que

  • Se você encontrar quadriláteros inscritíveis, pode determinar mais ângulos na figura.
  • Se você ver ângulos iguais, procure formar quadriláteros inscritíveis.

Exemplo (Cone Sul 2002)[]

Seja um quadrilátero convexo tal que suas diagonais e são perpendiculares. Seja a interseção de e e seja o ponto médio de . Mostre que o quadrilátero é inscritível se, e somente se, as retas e são perpendiculares.

Solução: Considere . Provaremos que (o que nos permitirá concluir que o quadrilátero é inscritível). Vamos calcular outros ângulos da figura em função de até "descer" para o ângulo .

Para nos ajudar, considere o ponto de encontro entre as retas e .

Observe que é o ponto médio da hipotenusa e assim . Assim, é um triângulo isósceles e assim . Como , segue que e assim . Desta forma, é um quadrilátero inscritível.

Cone sul 2002 p4

Basta calcularmos alguns ângulos da figura até provarmos que . Considere . Calculemos outros ângulos da figura em função de .

Podemos nos inspirar no caso anterior. Por exemplo, aqui dá para usar novamente que é ponto médio da hipotenusa , de onde podemos concluir que . Como é um triângulo isósceles e , segue que . Assim .

Mas de onde segue que e assim é perpendicular a .

Exemplo (IMO 2017)[]

Sejam e pontos distintos sobre a circunferência tais que não é um diâmetro de . Seja a reta tangente a em . O ponto é tal que é o ponto médio do segmento . O ponto escolhe-se no menor arco de de maneira que , a circunferência circunscrita ao triângulo , intersecta em dois pontos distintos. Seja o ponto comum de e mais próximo de . A reta intersecta pela segunda vez em . Demonstre que a reta é tangente a .

Solução: Vamos começar com uma boa figura:

IMO2017P4 - 1

Como os quadriláteros e são cíclicos, . O primeiro ângulo sendo igual ao último implica que as retas e são paralelas. Seja a interseção entre e . Do paralelismo, segue que , mas, dado que é uma tangente a , podemos dizer também, por ângulo de segmento, que , e essa última relação implica que é um quadrilátero cíclico.

Como é o ponto médio do segmento , então ; isso, junto a e nos dá a congruência de triângulos pelo caso LAAo, o que significa que , e as diagonais de se intersectam num ponto médio comum, o que significa que é um paralelogramo e .

IMO2017P4 - 2

Assim, . Como é cíclico, . Então, temos que , o que, por ângulo de segmento, significa que é tangente a , como queríamos!

Exemplo (Cone Sul 2012)[]

Em um quadrado , seja um ponto sobre o lado , distinto de e . No triângulo traça-se as alturas e , e seja o ponto de interseção das retas e . Demonstre que .

Solução: É suficiente mostrarmos que e pertencem à mesma circunferência. Com efeito, como , concluiremos que será o diâmetro desta circunferência e assim será igual a .

Vamos calcular algumas medidas de ângulos para ver se podemos encontrar alguns ângulos de mesma medida envolvendo e .

Considere e os pontos de encontro de e com e , respectivamente.

Seja . Como , segue que e assim . Além disso, (pois é um quadrado) e . Com isso, os triângulos e são congruentes pelo caso . Assim, . Se combinarmos isto com o fato de que ,

Analogamente, os triângulos e são congruentes e . Por essas duas últimas igualdades e pelo fato de que , segue que os triângulos e são congruentes pelo caso . Desta maneira, .

Cone sul 2012 p2

Observe que é inscritível, pois . O mesmo vale para o quadrilátero . Se combinarmos estes fatos com ,

Desta forma é inscritível. Mas sabemos que também é. Logo, e estão sobre a mesma circunferência, de onde segue que .

Exemplo (OBM 2013 - 3ª Fase - Nível 2)[]

Seja um triângulo. Seja um ponto na circunferência circunscrita ao triângulo e sejam e os pés das perpendiculares de até e , respectivamente. Finalmente, seja o ponto médio . Sendo o ponto médio do lado , prove que as retas e são perpendiculares.

Observação: Suponha que o ponto é distinto do ponto .

Solução:

OBM2013q3n2

Vamos encontrar o máximo de informações possíveis sobre a figura. Neste caso, podemos encontrar vários quadriláteros inscritíveis. Comecemos usando o fato de que é um quadrilátero inscritível. Se , então .

Melhor ainda: conseguimos outro quadrilátero inscritível. Como , segue que é também um quadrilátero inscritível. O que podemos tirar disso? Como , segue que .

E olha que legal: e possuem mesma medida e o mesmo vértice. Conseguimos alguma relação interessante por causa disso? Sim:

.

Além disso, como é inscritível, . Com isso, os triângulos e são semelhantes pelo caso . Assim,

Mas estes lados também estão relacionados aos triângulos e (que também possuem um ângulo em comum). Será que conseguimos concluir uma semelhança daqui? Observe que é equivalente a

Além disso, . Logo, os triângulos e são semelhantes pelo caso .

Podemos aproveitar uma coisa dessa semelhança. Como e são pontos médios dos lados e , respectivamente, segue que . Com isso, é inscritível. E o que é legal aqui, é que nesse quadrilátero aparece o ângulo que queremos provar que é igual a : . Observe que . Se mostrarmos que , terminaremos o problema.

Desta forma, se for o ponto de encontro entre os segmentos e , segue que e assim é inscritível e como , podemos concluir que . Portanto, .

Exemplo (OBM 2010 - 3ª Fase - Nível 2)[]

As diagonais de um quadrilátero inscritível se intersectam em . Os círculos circunscritos aos triângulos e intersectam as retas e , pela segunda vez, nos pontos e . Prove que o quadrilátero está inscrito em um círculo de centro .

OBM2010q5n2

Solução: Uma das maneiras de fazermos isto é mostrarmos que

.

Uma estratégia é usarmos o fato de que, em uma circunferência, ângulos iguais "enxergam" arcos iguais.

Como é inscritível, segue que . Se olharmos para a circunferência circunscrita ao triângulo , podemos concluir que e assim . Analogamente, .

Se provarmos que , terminaremos o problema. Como sabemos várias informações sobre ângulos, procuraremos provar que . Considere . Mostraremos que .

Vamos achar ângulos na figura em função de até encontrarmos em função de . Observe que . Como é inscritível, . Mas parece que estamos tão longe do ângulo . Podemos movê-lo para mais perto? Sabemos que é inscritível. Assim, . O quadrilátero é inscritível, de onde segue que e, finalmente, .

Exemplo (OBM 2014 - 3ª Fase - Nível 2)[]

Sejam um diâmetro da circunferência e uma corda perpendicular a tal diâmetro. Sejam ainda o ponto de interseção entre e e um ponto qualquer sobre a corda diferente de . As retas e intersectam novamente em e , respectivamente. Se é o circuncentro do triângulo , mostre que a área do triângulo é sempre a mesma para qualquer que seja o ponto escolhido.

Solução: Os pontos e são fixos na figura, portanto, para que a área de seja sempre a mesma, a altura relativa a deve permanecer a mesma, em outras palavras, a distância entre e deve ser a mesma, o que significa que deve estar numa reta paralela a fixa. Como , a reta pela qual passa deve ser perpendicular a . Como os pontos e variam enquanto é fixo, segue que a reta a qual pertence deve ser a mediatriz entre e um outro ponto fixo de , o que indicaria que o outro ponto pelo qual o circuncírculo de intersecta é fixo. Se desenharmos esse circuncírculo, veremos que ele passa pelo centro de . Vamos provar que isso de fato acontece.

Obm 2014 n2p2

Como vamos trabalhar com o centro de , é bom darmos um nome a ele, então seja o centro de . Temos que provar que é cíclico. Pela relação do ângulo inscrito, temos que . Para provar o que queremos, precisamos que , felizmente, como é cíclico, , então precisamos provar só que ... mas isso significaria que é cíclico; podemos provar isso? Sim! Como e é um diâmetro de , temos que , portanto temos e cíclico, como queríamos!

Exemplo (Cone Sul 2004)[]

Dada uma circunferência e um ponto exterior a ela, traçam-se por as duas tangentes às circunferências, sendo e os pontos de tangência. Toma-se um ponto sobre o menor arco de . Seja a interseção da reta com a perpendicular a traçada por , e seja a interseção da reta com a perpendicular a traçada por .

Demonstre que, ao variar no arco , todas as retas passam por um mesmo ponto.

Solução: Seja um ponto pertencente a tal que é perpendicular a .

A estratégia aqui é mostrar que é um paralelogramo. E como isso nos ajuda? Sabemos que as diagonais de um paralelogramo se encontram no seu ponto médio. Desta forma, sempre irá passar pelo ponto médio do segmento (que é sempre o mesmo quando variamos ).

Como podemos provar que é um paralelogramo? Uma das maneiras é mostrarmos por ângulos. Considere e . Observe que o quadrilátero é inscritível, pois . Então .

Observe que é um ângulo de segmento (pois é tangente e é secante à ). Desta forma,

Além disso, é inscritível, pois . Assim,

Desta forma, como , segue que e são paralelos.

Como é um ângulo de segmento, pelo mesmo processo que fizemos, . Mas, como já vimos, é inscritível. Assim, .

Já que , e são paralelos. Assim, é um paralelogramo e assim e se cruzam no seus pontos médios, ou seja, sempre passa pelo ponto médio de .

ConeSul2004q2

Exemplo (OBM 2003 - 3ª Fase - Nível 3)[]

Seja um losango. Sejam e pontos sobre os lados e , respectivamente, e tais que as retas e são tangentes à circunferência inscrita no losango.

Prove que as retas e são paralelas.

(Você pode encontrar soluções envolvendo o teorema de Brianchon aqui.)

Solução: Como se mostra que duas retas são paralelas? Uma maneira é por ângulos. Por exemplo, se mostrarmos que , então o problema estará resolvido. Para provarmos isto, mostraremos que os triângulos e são semelhantes. Como isto nos ajuda? Desta semelhança, poderemos concluir que . E como isso nos ajudará a provar ? Observemos que se a semelhança for provada, então como e são paralelos,

Daí poderíamos concluir que e são paralelos. Ou seja, para resolvermos o problema, basta provarmos que e são semelhantes. Como podemos provar esta semelhança sem usar um de seus ângulos? Uma das maneiras é aproveitar que (pois são ângulos opostos de um paralelogramo) e mostrar que .

Uma maneira interessante seria encontrar outras razões para podermos mexer com esta. E melhor ainda se esta razão tivesse uma ou mais medidas que também aparecem em .

Para isto, vamos encontrar mais informações sobre a figura. Se possível, igualdades boas entre ângulos. Seja o centro da circunferência inscrita ao losango. Então e são bissetrizes dos ângulos e , respectivamente. Mas lembre-se: as diagonais de um losango coincidem com as suas bissetrizes. Desta forma, é justamente o ponto de encontro das diagonais.

Se considerarmos (sim, definimos como e não como , pois em algum momento iremos dividir por e não estamos interessados em mexer com ), então . Desta forma, . Por isso, vamos focar nos triângulos e pela última igualdade, vemos que eles possuem um dos ângulos com mesma medida. Se acharmos outra medida igual, veremos que eles são semelhantes. E por que isto seria interessante? Porque eles possuem dois lados que aparecem em : e .

Vamos colocar pontos de tangência para encontrar mais informações sobre a figura. Considere e os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados e , respectivamente.

OBM2003q3n3

Façamos o arrastão, ou seja, encontraremos ângulos da figura em função do que já conhecemos. Observemos que (pois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares) e assim . Além disso, é inscritível (pois ) e assim

Como e são retas tangentes, segue que . Além disso, como e são tangentes, segue que . Para nos ajudar com este arrastão, consideremos . Daí . Se olharmos para o triângulo , descobriremos que . Se descobrirmos um ângulo do triângulo que também tenha essa medida, conseguiremos a semelhança desejada.

Notemos que e são tangentes e assim . Como

segue que

Desta forma, . Com isso,

Desta maneira,

Se compararmos com ,

Com isso, e são semelhantes pelo caso . Desta forma

Aqui temos uma vantagem: conseguimos calcular e em função da diagonal . De fato, se a medida desta for , então e assim

Analogamente,

Logo

Esta é a equação : justamente o que queríamos mostrar.

Exemplo (IMO 1998)[]

No quadrilátero convexo , as diagonais e são perpendiculares e os lados opostos e não são paralelos. Suponha que o ponto , onde as mediatrizes de e se encontram, está dentro de . Prove que é um quadrilátero cíclico se, e somente se, os triângulos e possuem áreas iguais.

Solução: () Como precisamos usar a ideia de que as diagonais são perpendiculares, considere o ponto de encontro entre e . Vamos supor, sem perda de generalidade, que pertença ao interior do triângulo .

(Ida, Ver. 1) Uma estratégia aqui seria calcular as áreas dos triângulos e com segmentos comparáveis, ou seja, de forma que a gente possa concluir a igualdade a partir das expressões formadas. Mas para isso, vale a pena começarmos procurando alguns segmentos iguais.

Como as mediatrizes das cordas passam pelo centro, segue que as mediatrizes de e também passam por lá, de onde segue que é o centro de . Assim .

Calcularemos de modo que podemos calcular de modo parecido depois e compararmos seus resultados. Vamos comparar as áreas de com a de (que para ser calculada, podemos usar que as diagonais são perpendiculares):

Para calcularmos as áreas de e precisamos das suas alturas. Por isso, considere e os pés das perpendiculares de em relação a e , respectivamente. Assim,

IMO 1998 P1

Como (já que as diagonais são perpendiculares entre si) e (pela definição de e ), segue que é um retângulo. Assim e . Desta forma,

Qual é a vantagem disso? Todos os segmentos envolvidos na área estão contidos nas diagonais e fica mais fácil mexermos com eles (no sentido de podermos combiná-los com adições e subtrações). Já que aparece em duas partes da nossa conta, podemos melhorá-la.

Será que algum desses podem nos dar alguma igualdade com segmentos que envolveremos no cálculo de ? Observe que como (já que é o centro do círculo) e é a altura relativa a no triângulo , podemos concluir que ela também é a mediana e assim . Analogamente . E como podemos fazer alguns desses segmentos aparecer no cálculo de ? Note que e . Ao fazermos essa substituição,

De modo parecido, podemos concluir que

Como e , podemos concluir que .

(Ida, Ver. 2) Assim como na Versão 1, teremos que e . Pela relação do ângulo inscrito, e , mas, como , , ou seja, eles são suplementares.

Para calcular as áreas de e , podemos usar a fórmula trigonométrica para a área de um triângulo. Dessa forma:

e

Mas, como e , , o que significa que .

() Vamos usar a contrapositiva aqui, ou seja, supor que não é cíclico e provar que e possuem áreas diferentes. Por e , uma boa estratégia parece comparar e com e .

Como podemos usar que não é cíclico? Se isso ocorre, não existe nenhum ponto que seja equidistante a . Mas observe que como pertence às mediatrizes de e , podemos concluir que e . Mas não podemos ter todas essas medidas iguais. Por isso, podemos supor, sem perda de generalidade, que .

Podemos olhar para o triângulo já que nele aparece os lados e e se traçarmos sua altura , teremos também e , ou seja, medidas que precisamos lidar. Sabemos que . Podemos usar isso para conseguir uma desigualdade com e ? Se usarmos o teorema de Pitágoras nos triângulos e :

Analogamente, . Se usarmos as duas últimas desigualdades em e , iremos obter e . Portanto, as áreas são realmente diferentes.

Exemplo (RMM 2018)[]

Seja um quadrilátero cíclico e seja um ponto sobre o lado . A diagonal encontra o segmento em . A reta que passa por paralela à encontra o prolongamento do lado por em . A reta que passa por paralela à encontra o prolongamento do lado por em . Prove que os circuncírculos dos triângulos e são tangentes.

RMM 2018 P1 A

Solução: Fazendo uma boa figura, é razoável perceber que e têm um ponto comum com o circuncírculo de , e que esse ponto está alinhado com . Vamos provar isso.

Seja a interseção de com o circuncírculo. Precisamos provar que pertence a e , ou seja, que e são inscritíveis.

Primeiro, podemos perceber que, como é cíclico e , temos que: , o que prova que é cíclico.

Então, como é cíclico e , temos que: , o que prova que é cíclico.

Como é um ponto comum entre e , ele deve ser o ponto de tangência. Mas como provamos que as duas circunferências são, de fato, tangentes?

Podemos provar que as tangentes a e por são paralelas, provando que elas são a mesma tangente e que as circunferências são, de fato, tangentes. Vamos fazer isso: sejam e os ângulos que a reta faz com as retas tangentes a e por . Para que as duas sejam paralelas, devemos ter .

RMM 2018 P1 B

Por ângulo de segmento, e . Mas , o que prova e finaliza o problema.

Teorema de Reim[]

Esse teorema trata de uma "configuração fixa" que tem algumas propriedades. O Teorema de Reim nos assegura que se essa configuração tem só alguma de suas propriedades, então ela tem todas.

Teorema de Reim
  • Variação 1: Dois círculos se intersectam nos pontos e . Os pontos e estão no mesmo círculo. Se as retas e intersectam o outro círculo em e , respectivamente, então, as retas e são paralelas.
  • Variação 2: O quadrilátero é cíclico. Se os pontos e estão em e de forma que e são paralelas, então é cíclico.
  • Variação 3: O quadrilátero é cíclico e o ponto está em . Se o ponto está no circuncírculo de de forma que é paralela a , então pertence a .

Esse teorema serve para mostrar que conciclicidade e paralelismo estão bastante relacionados. As demonstrações das três variações podem ser feitas por marcações de ângulos.

Exemplo (IMO 2019)[]

No triângulo , o ponto está no lado e o ponto está no lado . Sejam e pontos nos segmentos e , respectivamente, tal que é paralelo a . Seja um ponto na reta , tal que está estritamente entre e e . Analogamente, seja um ponto na reta , tal que está estritamente entre e e .

Prove que os pontos , , e são concíclicos.

IMO 2019 P2

Solução: Parece ser muito difícil relacionar os pontos e aos outros dois, mas o paralelismo deve lembrar o Teorema de Reim... mas como o utilizamos? Precisaríamos de um quadrilátero cíclico que contenha . Para isso, vamos prolongar e até atingirem o circuncírculo de em e , respectivamente.

Utilizando o Teorema de Reim, temos que é cíclico. Será que conseguimos provar que e também estão nessa circunferência? Podemos tentar. Há algo que não usamos: a condição angular esquisita de e . Como está em , temos que

O primeiro ângulo ser igual ao último significa que é cíclico. Analogamente, também é. Agora, para provar que e estão em , usamos o paralelismo novamente:

O que prova que pertence a . Podemos fazer um raciocínio análogo para , finalizando o problema.

Lugares Para Estudar[]

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