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Estes são números da forma

$ \underbrace{111\ldots111}_{n\text{ algarismos}}. $

Podemos reescrevê-lo como $ \frac{10^n-1}{9}. $

Exemplo (Cone Sul 1989)Editar

Calcule a soma

$ 1+11+111+...+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ algarismos}}. $

Solução:

Basta reescrevermos cada uma das parcelas:

$ 1+11+111+...+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ algarismos}}= $

$ =\frac{10^1-1}{9}+\frac{10^2-1}{9}+\frac{10^3-1}{9}+...+\frac{10^n-1}{9}= $

$ =\frac{1}{9}.(10^1+10^2+10^3+...+10^n-n). $

Se usarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG, nossa expressão se torna:

$ \frac{1}{9}.(\frac{10^{n+1}-10}{9}-n)= $

$ =\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}. $