Estes são números da forma
111 … 111 ⏟ n algarismos . {\displaystyle \underbrace {111\ldots 111} _{n{\text{ algarismos}}}.}
Podemos reescrevê-lo como 10 n − 1 9 . {\displaystyle \frac{10^n-1}{9}.}
Calcule a soma 1 + 11 + 111 + . . . + 111 … 111 ⏟ n algarismos . {\displaystyle 1+11+111+...+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ algarismos}}.}
Solução:
Basta reescrevermos cada uma das parcelas:
1 + 11 + 111 + . . . + 111 … 111 ⏟ n algarismos = {\displaystyle 1+11+111+...+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ algarismos}}=}
= 10 1 − 1 9 + 10 2 − 1 9 + 10 3 − 1 9 + . . . + 10 n − 1 9 = {\displaystyle =\frac{10^1-1}{9}+\frac{10^2-1}{9}+\frac{10^3-1}{9}+...+\frac{10^n-1}{9}=}
= 1 9 . ( 10 1 + 10 2 + 10 3 + . . . + 10 n − n ) . {\displaystyle =\frac{1}{9}.(10^1+10^2+10^3+...+10^n-n).}
Se usarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG, nossa expressão se torna:
1 9 . ( 10 n + 1 − 10 9 − n ) = {\displaystyle {\frac {1}{9}}.({\frac {10^{n+1}-10}{9}}-n)=}
= 10 n + 1 − 10 − 9 n 81 . {\displaystyle =\frac{10^{n+1}-10-9n}{81}.}
