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Sejam $ a $ e $ m \geq 1 $ inteiros primos entre si. Diremos que a é resíduo quadrático módulo m se existe um inteiro $ x $ tal que $ x^2 \equiv a \pmod{m} $.

Símbolo de LegendreEditar

Seja a inteiro e p primo. Então o símbolo de Legendre é definido por

$ {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{se }}p{\mbox{ divide a }}a\\1&{\mbox{se }}a{\mbox{ é resíduo quadrático módulo }}p\\-1&{\mbox{se }}a{\mbox{ não é residuo quadrático módulo }}p\\\end{cases}}} $

Propriedades do Símbolo de LegendreEditar

Se $ p $ um primo ímpar. Então

(i) Se $ a \equiv b \pmod{p} $, então $ {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)} $.

(ii) Se $ p $ não divide $ a $, então $ {\displaystyle \left({\frac {a^2}{p}}\right)}=1 $.

(iii) $ {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right).\left({\frac {b}{p}}\right)} $

(iv) $ {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}}. $

(v) $ {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}}. $

Lei da Reciprocidade QuadráticaEditar

Sejam $ p $ e $ q $ primos ímpares distintos. Então

$ {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}}. $

Este era o teorema favorito de Gauss. Ele deu oito demonstrações diferentes para ele.

Outra maneira de escrevermos esta lei é a seguinte:

Se $ p $ ou $ q $ é congruente a $ 1 $ módulo $ 4 $, então $ {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)} $. Caso contrário, $ {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=-\left({\frac {q}{p}}\right)} $

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.