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Uma sequência em $ X $ é uma função $ x:\mathbb{N} \rightarrow X $. Neste caso, representaremos $ x(n) $ por $ x_n $.

Dada uma sequência $ a_1,a_2,\dots,a_n,... $ cada um dos números é chamado de termo.

Dado um termo $ a_n $ qualquer, o número $ n $ é chamado de índice.

Exemplo (Cone Sul 1996) Editar

Considerar uma sequência de números reais definida por

$ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} $ para $ n=0,1,2,\dots $

Demonstrar que, qualquer que seja o número real positivo $ a_0 $, tem-se que $ a_{1996} $ é maior que $ 63 $.

Solução: Não precisamos calcular $ a_{1996} $. Basta somente que encontremos uma desigualdade que envolva esse número.

Uma maneira de fazermos isto é criarmos uma igualdade que envolva $ a_{n+1} $ e $ a_n $. Para conseguirmos isto, uma ideia interessante é elevarmos ambos os lados da igualdade do enunciado ao quadrado:

$ a_{n+1}^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}+2 \geq a_n^2+2, $

pois todo número real elevado ao quadrado é maior ou igual a zero. Se usarmos valores pequenos para $ n $ na desigualdade acima:

$ a_1^2 \geq a_0^2+2 \geq 2 $

$ a_2^2 \geq a_1^2+2 \geq 2+2=4 $

$ a_3^2 \geq a_2^2+2 \geq 4+2=6. $

É possível generalizar e provar por indução que $ a_n^2 \geq 2n $. Com isso,

$ a_{1996}^2 \geq 2.1996 = 3992, $

de onde segue que $ a_{1996} > 63 $.

Sequências Importantes Editar