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Uma sequência em $ X $ é uma função $ x:\mathbb{N} \rightarrow X $. Neste caso, representaremos $ x(n) $ por $ x_n $. A sequência formada pelos elementos $ x_n $ é representada por $ (x_n) $ ou $ \{x_n\} $.

Dada uma sequência $ a_1,a_2,\dots,a_n,... $ cada um dos números é chamado de termo.

Dado um termo $ a_n $ qualquer, o número $ n $ é chamado de índice.

Exemplo (Cone Sul 2006) Editar

Daniel escreveu em uma lousa, de cima para baixo, uma lista de números inteiros positivos menores ou iguais a $ 10 $. Ao lado de cada número da lista de Daniel, Martín anotou a quantidade de vezes que esse número aparece na lista de Daniel e obteve assim uma lista de mesmo tamanho. Se lemos a lista de Martín de baixo para cima obtemos a mesma lista de números que Daniel escreveu de cima para baixo. Encontre o maior tamanho que a lista de Daniel pode ter.

Solução: Se algum inteiro $ k $ está na lista de David, então ele está na lista de Martin. Com isso, existe um inteiro $ k' $ que aparece $ k $ vezes na lista de David.

Desta forma, o máximo que pode acontecer é algum termo aparecer $ 1 $ vez, outro aparecer $ 2 $ vezes, outro $ 3 $ vezes e assim por diante. Ou seja, o a quantidade de termos que aparece é $ 1+2+\cdots+10=55 $.

Mas será que existe uma lista com essa quantidade de termos? Sim: basta que a lista de Daniel seja

$ 1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,\cdots,10 $

(onde o número $ i $ apareça $ i $ vezes) e a lista de Martin será a lista de David invertida.

Exemplo (Cone Sul 1996) Editar

Considerar uma sequência de números reais definida por

$ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} $ para $ n=0,1,2,\dots $

Demonstrar que, qualquer que seja o número real positivo $ a_0 $, tem-se que $ a_{1996} $ é maior que $ 63 $.

Solução: Não precisamos calcular $ a_{1996} $. Basta somente que encontremos uma desigualdade que envolva esse número.

Uma maneira de fazermos isto é criarmos uma igualdade que envolva $ a_{n+1} $ e $ a_n $. Para conseguirmos isto, uma ideia interessante é elevarmos ambos os lados da igualdade do enunciado ao quadrado:

$ a_{n+1}^2=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}+2 \geq a_n^2+2, $

pois todo número real elevado ao quadrado é maior ou igual a zero. Se usarmos valores pequenos para $ n $ na desigualdade acima:

$ a_1^2 \geq a_0^2+2 \geq 2 $

$ a_2^2 \geq a_1^2+2 \geq 2+2=4 $

$ a_3^2 \geq a_2^2+2 \geq 4+2=6. $

É possível generalizar e provar por indução que $ a_n^2 \geq 2n $. Com isso,

$ a_{1996}^2 \geq 2.1996 = 3992, $

de onde segue que $ a_{1996} > 63 $.

Sequências Importantes Editar