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Funções SimétricasEditar

Uma função simétrica de $ x_1,x_2,\dots,x_n $ é uma função que não muda se trocarmos a ordem das suas variáveis.

Polinômios Simétricos em $ 2 $ variáveisEditar

Consideremos aqui as expressões

$ \sigma_1=x+y $

$ \sigma_2=xy $,

que são chamadas de polinômios simétricos elementares em $ 2 $ variáveis. Vamos definir também

$ S_n=x^n+y^n . $

Dá para escrever $ S_n $ em função de $ \sigma_1 $ e $ \sigma_2 $? Observe que

$ S_0=x^0+y^0=1+1=2 . $

$ S_1=x^1+y^1=\sigma_1 . $

Para $ n \geq 2 $,

$ S_n=\sigma_1.S_{n-1}-\sigma_2.S_{n-2}. $

Por exemplo,

$ S_2=\sigma_1^2-2\sigma_2. $

$ S_3=\sigma_1^3-3\sigma_1 \sigma_2. $

Exemplo (OBM 2012 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Considere os números reais $ a $ e $ b $ tais que $ (a+b)(a+1)(b+1)=2 $ e $ a^3+b^3=1 $. Encontre o valor de $ a+b $.

Solução: Vamos escrever na notação de polinômios simétricos. Queremos calcular $ \sigma_1 $. Observe que

$ (a+b)(a+1)(b+1)=2 \Leftrightarrow (a+b)(a+b+ab+1)=2 \Leftrightarrow \sigma_1^2 +\sigma_1\sigma_2+\sigma_1=2. (*) $

Além disso,

$ a^3+b^3=1 \Leftrightarrow S_3=1 \Leftrightarrow {\sigma_1}^3-3\sigma_1 \sigma_2=1 (**) $.

Como queremos $ \sigma_1 $, seria legal se tirássemos $ \sigma_2 $ da nossa conta. Se multiplicarmos $ (*) $ por $ 3 $ e somarmos com $ (**) $:

$ \sigma_1^3+3\sigma_1^2+3\sigma_1+1=8 \Leftrightarrow (\sigma_1+1)^3=8 \Leftrightarrow \sigma_1=1 $.

Polinômios Simétricos em $ 3 $ VariáveisEditar

$ \sigma_1=x+y+z $

$ \sigma_2=xy+yz+zx $

$ \sigma_3=xyz $

$ S_n=x^n+y^n+z^n . $

Dá para escrever $ S_n $ em função de $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ e $ \sigma_3 $? Observe que

$ S_0=x^0+y^0+z^0=1+1+1=3 $

$ S_1=\sigma_1 $

$ S_2=\sigma_1^2-2\sigma_2 $

Existe uma maneira de determinarmos $ S_n $ para $ n \geq 3 $:

$ S_n=\sigma_1.S_{n-1}-\sigma_2.S_{n-2}+\sigma_3.S_{n-3} $

Exemplo (OBM 2001 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

Sejam $ a $, $ b $ e $ c $ números reais não nulos tais que $ a+b+c=0 $. Calcule os possíveis valores de

$ \frac{(a^3+b^3+c^3)^2(a^4+b^4+c^4)}{(a^5+b^5+c^5)^2} $.

Solução: Queremos calcular $ \frac{S_3^2.S_4}{S_5^2}. $

A estratégia é: vamos escrever cada uma dessas somas simétricas em função de $ \sigma_1 $, $ \sigma_2 $ e $ \sigma_3 $. Segundo o enunciado, $ \sigma_1=0 $. Então $ S_1=0 $ e $ S_2=-2\sigma_2 $. Assim,

$ S_3=\sigma_1.S_2-\sigma_2.S_1+\sigma_3.S_0=3\sigma_3 $

$ S_4=\sigma_1.S_3-\sigma_2.S_2+\sigma_3.S_1=-\sigma_2.S_2=2\sigma_2^2 $

$ S_5=\sigma_1.S_4-\sigma_2.S_3+\sigma_3.S_2=-3\sigma_2\sigma_3-2\sigma_2\sigma_3=-5\sigma_2\sigma_3. $

Desta forma,

$ \frac{S_3^2.S_4}{S_5^2}=\frac{(3\sigma_3)^2.2\sigma_2^2}{(-5\sigma_2\sigma_3)^2}=\frac{18}{25}. $

Polinômios Simétricos em $ n $ variáveisEditar

Considere

$ \sigma_k=\displaystyle{\sum x_{i_1}x_{i_2}\dots x_{i_k}} $,

onde a soma é sobre todas as $ {n \choose k} $ escolhas de $ i_1,i_2,\dots,i_k $, onde esses $ i's $ são distintos e podem assumir qualquer um dos valores $ 1,2,\dots,n $.

Este $ \sigma_k $ é chamado de $ k $-ésima função elementar simétrica de $ x_1,x_2,\dots,x_n $. Também podemos representar essas funções por $ \sigma_k(x_1,x_2,\dots,x_n) $ para mostrarmos que estamos lidando com as variáveis $ x_1,x_2,\dots,x_n $.

Teorema da Função SimétricaEditar

Toda função polinomial simétrica de $ x_1,x_2,\dots,x_n $ é uma função polinomial dos polinômios elementares $ \sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n $.

TeoremaEditar

Sejam $ x_1,x_2,\dots,x_n $ as raízes da equação polinomial $ x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0 $ e seja $ \sigma_k $ a $ k $-ésima função simétrica elementar. Então

$ \sigma_k=(-1)a_k, $

para $ k=1,2,\dots,n $.

Somas de NewtonEditar

Para $ p $ inteiro não negativo, podemos definir $ S_p=x_1^p+x_2^p+\dots+x_n^p $.

Teorema (Fórmula de Newton para Soma de Potências)Editar

Seja $ S_p=x_1^p+x_2^p+\dots+x_n^p $, onde $ x_1,x_2,\dots,x_n $ são raízes $ x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n=0 $. Então

$ S_1+c_1=0 $

$ S_2+c_1S_1+2c_2=0 $

$ S_3+c_1S_2+2c_2S_1+3c_2=0 $

$ \dots $

$ S_n+c_1S_{n-1}+2c_2S_{n-2}+\dots+nc_n=0, $

enquanto $ S_p+c_1S_{p-1}+2c_2S_{p-2}+\dots+c_nS_{p-n}=0, $ para $ p>n $.

BibliografiaEditar

  • E. Lozansky, C. Rousseau : Winning Solutions, Springer-Verlag, New York, 1996.