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Começaremos por somatórios. Por definição,

$ {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n}} $.

Em geral, os somatórios são úteis para escrevermos somas grandes de maneiras mais resumidas. O símbolo $ \Sigma $ é a letra grega sigma maiúscula.

Propriedades Editar

(i) $ {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(a_i+b_i)=\sum _{i=m}^{n}a_i+\sum _{i=m}^{n}b_i} $.

(ii) Se $ c $ é um número qualquer, então

$ {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(c a_i)=c \sum _{i=m}^{n}a_i} $.

(iii) Se $ x $ não depende do índice, então

$ {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x=(n-m+1)x} $.

Outra Maneira de Escrevermos Editar

Em certos casos, você pode explicar quem são os índices dos termos que aparecem no somatório.

Exemplos:

(1) $ {\displaystyle \sum _{\stackrel {i \text{ ímpar positivo}}{\text { e menor que } 10}}a_i = a_1+a_3+a_5+a_7+a_9} $.

(2) $ {\displaystyle \sum _{\stackrel {j \text{ é um múltiplo}}{\text { positivo de } 3}}a_j = a_3+a_6+a_9+\dots} $.

Quando os Índices de um Somatório Pertencem a um Conjunto Editar

Neste caso, escrevemos

$ {\displaystyle \sum _{i \in I}a_i}, $

que representa a soma de todos os $ a_i $'s possíveis quando $ i \in I $.

Exemplo: Se $ I=\{3,5,8\} $, então

$ {\displaystyle \sum _{i \in I}a_i}=a_3+a_5+a_8. $

Propriedades Editar

(i) Se $ I \cap J = \varnothing $, então

$ {\displaystyle \sum _{i \in I\cup J}a_i} = {\displaystyle \sum _{i \in I}a_i}+{\displaystyle \sum _{i \in J}a_i}. $

(ii) $ {\displaystyle \sum _{i \in I \text{ e } j \in J}a_ib_j=\sum _{i \in I}a_i.\sum _{j \in J}b_j}. $

Exemplo (Cone Sul 2000) Editar

Um quadrado de lado $ 2 $ é dividido em retângulos mediante várias retas paralelas aos lados (algumas horizontais e outras verticais). Os retângulos são coloridos alternadamente de preto e branco, como se fosse um tabuleiro de xadrez. Se deste modo a área branca resultou igual a área preta, demonstrar que ao recortar os retângulos pretos ao longo de seus bordos, é possível formar com estes (sem superposição) um retângulo preto $ 1 \times 2 $.

Solução: Este problema não é sobre somatórios, mas saber sobre eles é bem útil. Sejam $ x_1,x_2,\dots,x_n $ as distâncias entre as retas verticais, onde existem $ n-1 $ retas e $ x_i $ é a distância entre a $ i $-ésima e $ (i-1) $-ésima reta para $ i=2,3,\dots,n-1 $, enquanto $ x_1 $ é a distância entre o lado e a primeira reta e $ x_n $ a distância entre a $ (n-1) $-ésima reta e o outro lado. Analogamente, considere $ y_1,y_2,\dots,y_p $ as distâncias só entre as $ p-1 $ retas horizontais. Sem perda de generalidade, vamos supor que a casa do canto esquerdo superior é preta.

Observe que a área preta é $ 2 $, pois é metade da área total. Além disso, podemos calculá-la da seguinte maneira

$ {\displaystyle \sum _{\stackrel {i \text{ e } j \text{ possuem}}{\text { a mesma paridade }}}x_iy_j} = \sum _{i \text{ e } j \text{ pares}}x_iy_j + \sum _{i \text{ e } j \text{ ímpares}}x_iy_j = $

$ ={\displaystyle \sum _{i \text{ par}}x_i \sum _{y \text{ par}}y_j + \sum _{i \text{ ímpar}}x_i \sum _{y \text{ ímpar}}y_j}. $

Desta maneira:

$ {\displaystyle \sum _{i \text{ par}}x_i \sum _{y \text{ par}}y_j + \sum _{i \text{ ímpar}}x_i \sum _{y \text{ ímpar}}y_j}=2. (*) $

As contas parecem meio chatas de serem manipuladas. Existe alguma outra informação que podemos usar nas nossas contas? Sim, como o lado do quadrado mede $ 2 $,

$ {\displaystyle \sum _{i \text{ par}}x_i +\sum _{i \text{ ímpar}}x_i = 2} (**) $

$ {\displaystyle \sum _{j \text{ par}}y_j +\sum _{j \text{ ímpar}}y_j = 2} (***). $

Se definirmos

$ A={\displaystyle\sum _{i \text{ par}}x_i} $

$ B={\displaystyle\sum _{j \text{ par}}y_j}, $

as igualdadades $ (**) $ e $ (***) $ se reescrevem da seguinte maneira,


$ {\displaystyle\sum _{i \text{ ímpar}}x_i}=2-A $

$ {\displaystyle\sum _{j \text{ ímpar}}y_j}=2-B. $

Se substituirmos em $ (*) $

$ AB+(2-A)(2-B)=2 \Leftrightarrow AB-A-B+1 = 0 \Leftrightarrow (A-1)(B-1)=0 $.

Com isso, $ A=1 $ ou $ B=1 $. Sem perda de generalidade, vamos supor que $ A=1 $. Então

$ {\displaystyle\sum _{i \text{ par}}x_i=\sum _{i \text{ ímpar}}x_i=1}. $

Vamos montar esse retângulo. Como podemos fazer a base aparecer? Basta pegarmos um quadradinho preto de cada uma das colunas e juntar. Teremos a base que medirá $ 1 $. E a altura? Basta colocarmos todos os quadradinhos pretos da primeira coluna em cima do primeiro quadradinho, os da segunda coluna em cima do segundo quadradinho e assim por diante.

Como a área da figura total é $ 2 $ e a base desse retângulo é $ 1 $, a altura final desse retângulo será igual a $ 2 $.

Produtórios Editar

Por definição

$ {\displaystyle \prod _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m} a_{m+1} a_{m+2}\cdots a_{n-1}a_{n}.} $

O símbolo $ \Pi $ é a letra grega pi maiúscula.

Propriedades Editar

(i) $ {\displaystyle \prod _{i=m}^{n}a_ib_i = \prod _{i=m}^{n}a_i\prod _{i=m}^{n}b_i} $

(ii) $ {\displaystyle \prod _{i=m}^{n}\frac{a_i}{b_i}}=\frac{{\displaystyle\prod _{i=m}^{n}a_i}}{{\displaystyle\prod _{i=m}^{n}b_i}}. $

(iii) $ {\displaystyle \prod _{i=m}^{n}ca_i=c^{n-m+1}\prod _{i=m}^{n}a_i.} $

(iv) $ {\displaystyle \prod _{i=m}^{n}a=a^{n-m+1}.} $