FANDOM


Este resultado é útil quando quisermos trabalhar com várias congruências ao mesmo tempo.

Considere $ m_1, m_2, ..., m_k $ inteiros dois a dois primos entre si e $ a_1, a_2, ..., a_k $ inteiros quaisquer. Então o sistema de congruências

$ x \equiv a_1 \pmod{m_1} $

$ x \equiv a_2 \pmod{m_2} $

$ \dots $

$ x \equiv a_k \pmod{m_k} $

possui infinitas soluções. Além disso, quaisquer duas soluções são congruentes módulo $ m_1m_2\dots m_k $.

Quando Usar?Editar

Quando você quer mostrar que algo existe.

Exemplo (Cone Sul 2003) Editar

Demonstrar que existe uma sequência de inteiros positivos $ x_1,x_2,\dots,x_n,\dots $ que satisfaz as duas condições seguintes:

(i) contém exatamente uma vez cada um dos inteiros positivos,

(ii) para cada $ n=1,2,\dots $, a soma parcial $ x_1+x_2+\dots+x_n $ é divisível por $ n^n $.

Solução: A estratégia será a seguinte: construiremos a sequência indutivamente, ou seja,

  • definiremos $ x_1 $ e $ x_2 $;
  • conhecidos os termos $ x_1,x_2,\dots,x_{2n} $, definiremos os termos $ x_{2n+1} $ e $ x_{2n+2} $.

Obseve que $ x_1=1 $ e $ x_2=3 $ satisfazem (ii), pois $ 1^1 \mid 1 $ e $ 2^2 \mid 1+3 $.

Vamos construir $ x_{2n+1} $ e $ x_{2n+2} $ a partir de $ x_1,x_2,\dots,x_{2n} $, satisfazendo as condições (i) e (ii).

Para forçarmos esta sequência a cumprir (i), tomemos $ x_{2n+2} $ o menor inteiro que ainda não apareceu entre $ x_1,x_2,\dots,x_{2n} $. E quem escolher para $ x_{2n+1} $? Lembre-se de que a condição (ii) também deve ser satisfeita. Então basta tomarmos $ x_{2n+1} $ de tal forma que

$ x_{2n+1} \equiv -x_1-x_2-\dots-x_{2n} \pmod{(2n+1)^{2n+1}} $

$ x_{2n+1} \equiv -x_1-x_2-\dots-x_{2n}-x_{2n+2} \pmod{(2n+2)^{2n+2}}. $

Mas podemos existe algum $ x_{2n+1} $ nestas condições que é diferente de $ x_1,x_2,\dots,x_{2n} $ e $ x_{2n+2} $? Se pudermos usar o Teorema Chinês dos Restos, veremos que existem infinitos números que satisfazem estas condições e assim existe algum diferente destes citados. Mas para podermos usar o teorema, precisamos que $ \operatorname{mdc}((2n+1)^{2n+1},(2n+2)^{2n+2})=1 $. Mas isto é verdade, pois

$ \operatorname{mdc}(2n+1,2n+2)=\operatorname{mdc}(2n+1,1)=1. $

Observe que, pelas congruências,

$ (2n+1)^{2n+1} \mid x_1+x_2+\dots+x_{2n+1} $

$ (2n+2)^{2n+2} \mid x_1+x_2+\dots+x_{2n+2} $

o que faz a sequência satisfazer (ii). Além disso, criamos ela para satisfazer (i). Logo, a sequência cumpre as condições do enunciado.