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Todo número natural maior que $ 1 $ pode ser escrito de modo único (a não ser pela ordem dos fatores) como o produto de números primos. Em outras palavras, para todo $ n $ natural maior que $ 1 $, existem primos distintos $ p_1, p_2, \dots, p_k $ e inteiros positivos $ \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k $ tais que

$ n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k} $

O resultado acima é útil em vários casos. Um deles é quando quisermos escrever um número inteiro como o produto de outros.

Definições RelacionadasEditar

Um número inteiro é dito livre de quadrados se não possui um fator primo repetido. Em outras palavras, se a sua fatoração em primos é da forma $ p_1p_2\dots p_k $ onde $ p_1, p_2, \dots, p_k $ são dois a dois distintos. Também podemos pensar em números livre de quadrados como sendo aqueles que não possuem divisores quadrados perfeitos diferentes de $ 1 $.

ObservaçãoEditar

Se dois números são primos entre si, então eles não possuem nenhum fator primo em comum.

$ p^{\alpha} $ divide exatamente $ m $ Editar

Seja $ p $ um número primo. Dizemos que $ p^{\alpha} $ divide exatamente $ m $ quando $ p^{\alpha} $ divide $ m $, mas $ p^{\alpha+1} $ não divide.

Denotaremos isto por $ p^{\alpha}\mid\mid m $.

Observação Editar

$ p^{\alpha}\mid\mid m $ se, e somente se, existe $ y $ inteiro tal que $ x=p^{\alpha}y $ e $ p \not| y $.

Outra Notação Editar

Vamos considerar aqui $ e_p(x)=\alpha $ se, e somente se, $ p^{\alpha} $ divide exatamente $ x $. Então

(i) $ a|b $ se, e somente se, $ e_p(a) \leq e_p(b) $ para todo primo $ p $.

(ii) Sejam $ a $ e $ b $ inteiros positivos. Então $ a=b $ se, e somente se, $ e_p(a) = e_p(b) $ para todo primo $ p $.

(iii) $ e_p(ab)=e_p(a)+e_p(b) $.

(iv) Se $ b|a $, então $ e_p(\frac{a}{b})=e_p(a)-e_p(b) $.

(v) $ e_p(\operatorname{mdc}(a,b))=\operatorname{min}\{e_p(a),e_p(b)\} $.

(vi) $ e_p(\operatorname{mmc}(a,b))=\operatorname{max}\{e_p(a),e_p(b)\} $.

Exemplo (OBM 1998 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

São dados $ 15 $ números naturais maiores que $ 1 $ e menores que $ 1998 $ tais que dois quaisquer são primos entre si. Mostre que pelo menos um desses $ 15 $ números é primo.

Solução: Suponha todos os números desta lista são compostos. Então eles devem possuir algum fator primo menor que $ \sqrt{1998} $, ou seja, menor que $ 45 $. Porém só existem $ 14 $ primos menores que $ 45 $. Já que dois números primos entre si não podem possui fatores primos em comum, segue que não podemos ter o $ 15 $ números compostos. Portanto, algum deles é primo.

Exemplo (Cone Sul 1989)Editar

Um número $ p $ é perfeito se a soma dos seus divisores, com exceção de $ p $, é igual a $ p $. Seja $ f $ uma função tal que:

$ f(n)=0 $, se $ n $ é perfeito

$ f(n)=0 $, se o último algarismo de $ n $ é $ 4 $

$ f(a.b)=f(a)+f(b) $.

Encontre $ f(1998) $.

Solução: Já que o enunciado nos conta sobre a $ f $ de um produto de dois números, vamos escrever $ 1998 $ como o produto de números. Uma maneira interessante de fazermos isto é encontrarmos a fatoração em primos de $ 1998 $: $ 2.3.3.3.37 $. Com essa fatoração, podemos escrever:

$ f(1998)=f(2)+3f(3)+f(37). $

Se calcularmos $ f(2) $, $ f(3) $ e $ f(37) $, resolveremos o problema. Para isto, vamos usar os dados do enunciado. Como podemos usar que $ f(n)=0 $, se $ n $ é perfeito? Observe que o menor inteiro perfeito é 6. Então

$ f(6)=0 \Leftrightarrow f(2)+f(3)=0. $.

Se descobrirmos o valor de $ f(2) $, podemos determinar $ f(3) $ (e vice-versa). Para detemrinarmos um deles, vamos usar a outra informação: $ f(n)=0 $, se o último algarismo de $ n $ é $ 4 $. Observe que

$ f(4)=0 \Leftrightarrow 2f(2)=0 \Leftrightarrow f(2)=0. $

Com isso, $ f(3)=0 $. Assim, $ f(1998)=f(37) $. Como podemos determinar $ f(37) $? Basta multiplicarmos este número por algum outro para fazermos o algarismo das unidades dele ser igual a $ 4 $. É uma boa multiplicarmos este número por $ 2 $: afinal sabermos o valor de $ f(2) $ e $ 2.37=74 $. De fato, repare que

$ f(74)=0 \Leftrightarrow f(2)+f(37)=0 \Leftrightarrow f(37)=0. $

Portanto, $ f(1998)=0 $.

Exemplo (Cone Sul 1989) Editar

Seja $ n $ um quadrado perfeito com $ 4 $ algarismos, tal que todos os dígitos são menores que $ 6 $. Se adicionarmos $ 1 $ em cada algarismo o resultado será outro quadrado perfeito. Encontre $ n $.

Solução: Observe que somar $ 1 $ a cada dígito de $ n $ é equivalente a somar este número com $ 1111 $. O enunciado nos diz que existem $ a $ e $ b $ naturais tais que $ n^2=a $ e

$ a^2+1111=b^2 \Leftrightarrow (b+a)(b-a)=1111. $

A fatoração em primos de 1111 é $ 11.101 $. Além disso, $ b+a>b-a $ (pois $ a>0 $) e $ b+a $ não pode ser igual a $ 1111 $. Com isso $ b+a=101 $ e $ b-a=11 $. Daí segue que $ a=45 $ e $ n^2=45^2=2025 $.

Exemplo (Cone Sul 1994) Editar

Pedro e Cecília participam num jogo comm as seguintes regras: Pedro escolhe um número inteiro positivo $ a $ e Cecília ganha dele se ela encontra um número inteiro positivo $ b $, primo com $ a $, tais que na decomposição em fatores primos de $ a^3+b^3 $ apareçam pelo menos três fatores primos distintos. Demonstrar que Cecília sempre ganha.

Solução: Observe que dá para fatorar $ a^3+b^3 $ da seguinte forma:

$ a^3+b^3=(a+b).(a^2+ab+b^2) $

Basta Cecília escolher $ b $ de tal maneira que $ a+b $ possui três fatores primos distintos que não dividem $ a $.

Páginas RelacionadasEditar

Números Primos