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Todo número natural maior que 1 pode ser escrito de modo único (a não ser pela ordem dos fatores) como o produto de números primos. Em outras palavras, para todo n natural maior que 1, existem primos distintos p_1, p_2, \dots, p_k e inteiros positivos \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k tais que

n=p_1^{\alpha_1}.p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}

O resultado acima é útil em vários casos. Um deles é quando quisermos escrever um número inteiro como o produto de outros.

Definições RelacionadasEditar

Um número inteiro é dito livre de quadrados se não possui um fator primo repetido. Em outras palavras, se a sua fatoração em primos é da forma p_1p_2\dots p_k onde p_1, p_2, \dots, p_k são dois a dois distintos.

ObservaçãoEditar

Se dois números são primos entre si, então eles não possuem nenhum fator primo em comum.

Exemplo (OBM 1998 - 3ª Fase - Nível 2)Editar

São dados 15 números naturais maiores que 1 e menores que 1998 tais que dois quaisquer são primos entre si. Mostre que pelo menos um desses 15 números é primo.

Solução: Suponha todos os números desta lista são compostos. Então eles devem possuir algum fator primo menor que \sqrt{1998}, ou seja, menor que 45. Porém só existem 14 primos menores que 45. Já que dois números primos entre si não podem possui fatores primos em comum, segue que não podemos ter o 15 números compostos. Portanto, algum deles é primo.

Exemplo (Cone Sul)Editar

Um número p é perfeito se a soma dos seus divisores, com exceção de p, é igual a p. Seja f uma função tal que:

f(n)=0, se n é perfeito

f(n)=0, se o último algarismo de n é 4

f(a.b)=f(a)+f(b).

Encontre f(1998).

Solução:

Já que o enunciado nos conta sobre a f de um produto de dois números, vamos escrever 1998 como o produto de números. Uma maneira interessante de fazermos isto é encontrarmos a fatoração em primos de 1998: 2.3.3.3.37. Com essa fatoração, podemos escrever:

f(1998)=f(2)+3f(3)+f(37).

Se calcularmos f(2), f(3) e f(37), resolveremos o problema. Para isto, vamos usar os dados do enunciado. Como podemos usar que f(n)=0, se n é perfeito? Observe que o menor inteiro perfeito é 6. Então

f(6)=0 \Leftrightarrow f(2)+f(3)=0..

Se descobrirmos o valor de f(2), podemos determinar f(3) (e vice-versa). Para detemrinarmos um deles, vamos usar a outra informação: f(n)=0, se o último algarismo de n é 4. Observe que

f(4)=0 \Leftrightarrow 2f(2)=0 \Leftrightarrow f(2)=0.

Com isso, f(3)=0. Assim, f(1998)=f(37). Como podemos determinar f(37)? Basta multiplicarmos este número por algum outro para fazermos o algarismo das unidades dele ser igual a 4. É uma boa multiplicarmos este número por 2: afinal sabermos o valor de f(2) e 2.37=74. De fato, repare que

f(74)=0 \Leftrightarrow f(2)+f(37)=0 \Leftrightarrow f(37)=0.

Portanto, f(1998)=0.

Exemplo (Cone Sul) Editar

Seja n um quadrado perfeito com 4 algarismos, tal que todos os dígitos são menores que 6. Se adicionarmos 1 em cada algarismo o resultado será outro quadrado perfeito. Encontre n.

Solução:

Observe que somar 1 a cada dígito de n é equivalente a somar este número com 1111. O enunciado nos diz que existem a e b naturais tais que n^2=a e

a^2+1111=b^2 \Leftrightarrow (b+a)(b-a)=1111.

A fatoração em primos de 1111 é 11.101. Além disso, b+a>b-a (pois a>0) e b+a não pode ser igual a 1111. Com isso b+a=101 e b-a=11. Daí segue que a=45 e n^2=45^2=2025.

Páginas RelacionadasEditar

Números Primos

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