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Seja $ ABC $ um triângulo e $ L $ um ponto sobre $ BC $ tal que $ AL $ é bissetriz de $ \angle BAC $. Então

$ \frac{AB}{BL}=\frac{AC}{LC}. $

Exemplo (Cone Sul 2003)Editar

No triângulo acutângulo $ ABC $, os pontos $ H,G $ e $ M $ encontram-se sobre o lado $ BC $, de modo que $ AH,AG $ e $ AM $ são altura, bissetriz e mediana do triângulo, respectivamente. Sabe-se que $ HG=GM $, $ AB=10 $ e $ AC=14 $. Determinar a área do triângulo $ ABC $.

Solução: Vamos nomear algumas medidas. Considere $ x=BH $, $ k=HG=GM $, $ y=MC $ e $ z=AH $.

ConeSul2003q4

Vamos extrair o máximo de informações sobre a figura. Comecemos com o fato de que $ AM $ é uma mediana. Isto nos diz que $ M $ é ponto médio de $ BC $ e assim

$ BM=MC \Leftrightarrow x+2k=y. (*) $

Esta é uma equação com três incógnitas. Precisamos de outras equações que envolvam $ x, y $ e $ k $ para podermos calcular os três valores. Como $ AG $ é bissetriz, pelo Teorema da Bissetriz Interna,

$ \frac{AB}{BG}=\frac{AC}{GC} \Leftrightarrow \frac{10}{x+k}=\frac{14}{k+y} \Leftrightarrow 5y=7x+2k.(**) $

Se substituirmos $ (*) $ e $ (**) $

$ 5(x+2k)=7x+2k \Leftrightarrow x=4k. (***) $

Se substituirmos em $ (*) $,

$ y=6k.(****) $

Precisamos de outra equação. Observe que ainda não usamos o fato de que $ AH $ é altura. Se usarmos o teorema de Pitágoras no triângulo $ AHB $ e a equação $ (***) $.

$ x^2+z^2=10^2 \Leftrightarrow z^2=100-16k^2.(*****) $

Já se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo $ AHC $ e combinarmos com $ (****) $,

$ z^2+(y+2k)^2=14^2 \Leftrightarrow 64k^2+z^2=196. $

Ao usarmos $ (*****) $,

$ 64k^2+100-16k^2=196 \Rightarrow k=\sqrt{2}. $

Agora sim temos condições de calcular a área do triângulo $ ABC $. De fato,

$ BC=x+2k+y=4k+2k+6k=12k=12\sqrt{2} $

$ AH=z=\sqrt{100-16k^2}=\sqrt{68}. $

Desta forma, a área do triângulo $ ABC $ será

$ \frac{BC.AH}{2}=\frac{12\sqrt{2}.\sqrt{68}}{2}=12\sqrt{34}. $