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Em um triângulo, se ligarmos o vértice com um ponto lado oposto, este segmento será chamado de ceviana. O resultado a seguir foi criado pelo matemático italiano Giovanni Ceva.

Teorema de Ceva: Seja $ ABC $ um triângulo. Se as cevianas $ AX $, $ BY $ e $ CZ $ são concorrentes, então

$ \frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=1 $

Prova:

Ceva

Considere $ P $ o ponto de intersecção entre $ AX $, $ BY $ e $ CZ $. Vamos escrever $ \frac{BX}{XC} $, $ \frac{CY}{YA} $ e $ \frac{AZ}{ZB} $ em função de algumas áreas.

Observe que como $ ABX $ e $ AXC $ possuem mesma altura (da mesma forma que $ PBX $ e $ PXC $ também possuem essa propriedade):

$ \frac{BX}{XC}=\frac{[ABX]}{[AXC]}=\frac{[PBX]}{[PXC]}=\frac{[ABX]-[PBX]}{[AXC]-[PXC]}=\frac{[ABP]}{[APC]}. $

Analogamente,

$ \frac{CY}{YA}=\frac{[BCP]}{[ABP]} $

e

$ \frac{AZ}{ZB}=\frac{[APC]}{[BCP]}. $

Com isso,

$ \frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=\frac{[ABP]}{[APC]}.\frac{[BCP]}{[ABP]}.\frac{[APC]}{[BCP]}=1. $

Recíproca do Teorema de CevaEditar

Seja $ ABC $ um triângulo e $ AX $, $ BY $ e $ CZ $ cevianas que satisfazem

$ \frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=1. $

Então estas cevianas são concorrentes.

BibliografiaEditar

  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer : Geometry Revisited , Random House, New York, 1967