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Em um triângulo, se ligarmos o vértice com um ponto lado oposto, este segmento será chamado de ceviana. O resultado a seguir foi criado pelo matemático italiano Giovanni Ceva.

Teorema de Ceva: Seja ABC um triângulo. Se as cevianas AX, BY e CZ são concorrentes, então

\frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=1

Prova:

Ceva

Considere P o ponto de intersecção entre AX, BY e CZ. Vamos escrever \frac{BX}{XC}, \frac{CY}{YA} e \frac{AZ}{ZB} em função de algumas áreas.

Observe que como ABX e AXC possuem mesma altura (da mesma forma que PBX e PXC também possuem essa propriedade):

\frac{BX}{XC}=\frac{[ABX]}{[AXC]}=\frac{[PBX]}{[PXC]}=\frac{[ABX]-[PBX]}{[AXC]-[PXC]}=\frac{[ABP]}{[APC]}.

Analogamente,

\frac{CY}{YA}=\frac{[BCP]}{[ABP]}

e

\frac{AZ}{ZB}=\frac{[APC]}{[BCP]}.

Com isso,

\frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=\frac{[ABP]}{[APC]}.\frac{[BCP]}{[ABP]}.\frac{[APC]}{[BCP]}=1.

Recíproca do Teorema de CevaEditar

Seja ABC um triângulo e AX, BY e CZ cevianas que satisfazem

\frac{BX}{XC}.\frac{CY}{YA}.\frac{AZ}{ZB}=1.

Então estas cevianas são concorrentes.

Referências BibliográficasEditar

[1] H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer : Geometry Revisited , Random House, New York, 1967

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