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Seja $ ABC $ um triângulo e $ X $ um ponto pertencente ao lado $ BC $. Então $ AX $ é uma ceviana relativa ao vértice $ A $ (ou ao lado $ BC $). Como podemos calcular a medida de $ AX $?

Enunciado do TeoremaEditar

Seja $ ABC $ um triângulo e $ AX $ uma ceviana. Se $ a=BC $, $ b=AC $, $ c=BA $, $ m=BX $ e $ n=XC $, então

$ a(p^2+mn)=b^2m+c^2n. $

Teorema de Stewart

Exemplo (Cone Sul 1994) Editar

Seja $ ABC $ um triângulo retângulo em $ C $. Sobre o lado $ AB $ toma-se um ponto $ D $, de modo que $ CD=k $, e os raios das circunferências inscritas nos triângulos $ ADC $ e $ CDB $ são iguais. Demonstrar que a área do triângulo $ ABC $ é igual a $ k^2 $.

Solução: Existe alguma maneira de relacionarmos a área e o raio da circunferência inscrita? Sim: a área pode ser dada por $ pr $, onde $ p $ é o semiperímetro e $ r $ o raio da circunferência inscrita.

Seja então $ r $ os inraios dos triângulos $ ADC $ e $ CDB $. Considere $ p_1 $ e $ p_2 $ os perímetros de $ ADC $ e $ CDB $, respectivamente. Então

$ [ADC]=p_1r \Leftrightarrow r=\frac{[ADC]}{p_1} (*) $

$ [CDB]=p_2r \Leftrightarrow r=\frac{[CDB]}{p_2} (**). $

Se compararmos $ (*) $ e $ (**) $,

$ \frac{[ADC]}{p_1}=\frac{[CDB]}{p_2} \Leftrightarrow \frac{[ADC]}{[CDB]}=\frac{p_1}{p_2}. (***) $

E dá para relacionar áreas e frações? Sim. Como os triângulos $ ADC $ e $ CDB $ possuem a mesma altura, segue que

$ \frac{[ADC]}{[CDB]}=\frac{AD}{DB}. (****) $

Se compararmos $ (***) $ com $ (****) $ e lembrarmos que se $ \frac{x}{y}=\frac{z}{w} $, então $ \frac{x}{y}=\frac{z}{w}=\frac{x-z}{y-w} $.

$ \frac{p_1}{p_2}=\frac{AD}{DB} \Leftrightarrow \frac{AD+DC+CA}{CD+DB+BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{DC+CA}{CD+BC}. $

Se considerarmos $ a=BC $, $ b=AC $, $ c=AB $, $ u=AD $ e $ v=BD $. Queremos provar que $ \frac{ab}{2}=k^2 $. Assim, a igualdade anterior se reescreve como:

$ \frac{b+k}{a+k}=\frac{u}{v}. (****) $

Seria legal se conseguíssemos escrever $ u $, $ v $ e $ c $ em função de $ a $, $ b $ e $ k $.

Pelo Teorema de Pitágoras,

$ c=\sqrt{a^2+b^2}. $

Além disso,

$ c=u+v \Leftrightarrow v=c-u=\sqrt{a^2+b^2}-u. $

Se substituirmos em $ (****) $

$ \frac{b+k}{a+k}=\frac{u}{v} \Leftrightarrow u=\frac{v.(b+k)}{a+k}=\frac{(\sqrt{a^2+b^2}-u).(b+k)}{a+k}. $

Se isolarmos $ u $ nessa expressão:

$ u=\frac{\sqrt{a^2+b^2}(b+k)}{a+b+2k}. (*****) $

Agora que já temos $ u $, $ v $ e $ c $ em função de $ a $, $ b $ e $ k $, podemos usar alguma outra igualdade e relacionarmos estas três últimas. Existe uma outra maneira de relacionar estas variáveis? Sim: o Teorema de Stewart

$ a^2u+b^2v=c(k^2+uv). $

Se substituirmos as expressões de $ v $ e $ c $ em função de $ a $, $ b $ e $ k $ (não substituiremos $ u $ agora por ela ser menos simples que as outras):

$ a^2u+b^2(\sqrt{a^2+b^2}-u)=\sqrt{a^2+b^2}(k^2+u(\sqrt{a^2+b^2}-u)). $

Se simplificarmos esta expressão:

$ b^2 \sqrt{a^2+b^2}=k^2 \sqrt{a^2+b^2}+2b^2u - u^2 \sqrt{a^2+b^2} \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(b+k) \sqrt{a^2+b^2}=u(2b^2-u\sqrt{a^2+b^2}). $

Agora, podemos substituir a o valor de $ u $. Por $ (*****) $:

$ (b-k)(b+k) \sqrt{a^2+b^2}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}(b+k)}{a+b+2k}(2b^2-\frac{\sqrt{a^2+b^2}(b+k)}{a+b+2k}\sqrt{a^2+b^2}) \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+b+2k)=\frac{2b^2 (a+b+2k)-(a^2+b^2 ).(b+k)}{a+b+2k}. $

Observemos o lado direito da igualdade. Em uma das parcelas, aparece os fatores $ (a+b+2k) $ e $ b+k $. O mesmo ocorre com o lado esquerdo. Seria interessante se conseguíssemos relacionar esses fatores. Uma das maneiras de fazermos isto é considerarmos $ a+b+2k=a+k+b+k $.

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+k+b+k)=\frac{2b^2 (a+k+b+k)-(a^2+b^2 ).(b+k)}{a+b+2k} \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+k)+(b-k)(b+k)=\frac{2b^2 (a+k)+2b^2(b+k)-a^2(b+k)-b^2(b+k)}{a+b+2k} \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+k)+(b-k)(b+k)=\frac{2b^2 (a+k)+b^2(b+k)-a^2(b+k)}{a+b+2k}. $

Conseguimos fazer aparecer $ a+b+2k $ novamente:

$ (b-k)(a+k)+(b-k)(b+k)=\frac{b^2 (a+k)+b^2(a+k)+b^2(b+k)-a^2(b+k)}{a+b+2k}\Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+k)+(b-k)(b+k)=\frac{b^2 (a+k)+b^2(a+b+2k)-a^2(b+k)}{a+b+2k} \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+k)+b^2-k^2=\frac{b^2 (a+k)-a^2(b+k)}{a+b+2k}+b^2 \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow (b-k)(a+k)-k^2=\frac{b^2 (a+k)-a^2(b+k)}{a+b+2k} \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow -k^2 (a+b+2k)+(b-k)(a+k)(a+b+2k)=b^2 (a+k)-a^2 (b+k). $

Vamos fazer termos semelhantes em ambos os lados (para podermos cortar). Usemos a igualdade $ a+b+2k=a+k+b+k $. A igualdade acima equivale a

$ -k^2 (a+k)-k^2 (b+k)+a^2 (b+k)=(a+k)[b^2-(b-k)(a+b+2k)]. $

Já vimos que apareceu $ a+k $ no lado direito da igualdade. Conseguimos fazer no esquerdo?

$ (a+k)[-k^2+(b+k)(a-k)]=(a+k)[b^2-(b-k)(a+b+2k)]. $

Se dividirmos ambos os lados da igualdade por $ a+k $

$ -k^2+(b+k)(a-k)=b^2-(b-k)(a+b+2k) \Leftrightarrow $

$ \Leftrightarrow k^2=\frac{ab}{2}. $

O que é justamente o que queríamos mostrar.