Sejam $ a,b $ e $ c $ números inteiros. Se $ a^2+b^2=c^2 $, chamaremos $ (a,b,c) $ de terna pitagórica.
Definição 
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Dizemos que $ (a,b,c) $ é uma solução primitiva da equação $ a^2+b^2=c^2 $ quando $ a,b $ e $ c $ são dois a dois primos entre si.
ProposiçãoEditar
Se $ (a,b,c) $ é uma solução primitiva da equação $ a^2+b^2=c^2 $, então existem inteiros positivos primos entre si de paridades opostas $ u $ e $ v $ tais que $ u>v $ e
$ a=u^2-v^2 $
$ b=2uv $
$ c=u^2+v^2. $
Exemplo (Cone Sul 1994)Editar
Determinar infinitos termos $ x,y,z $ de inteiros positivos que sejam soluções da equação $ x^2+y^2=2z^2 $, tais que o máximo divisor comum de $ x,y,z $ seja $ 1 $.
Solução: Seria legal se conseguíssemos mudar a equação do enunciado para termos uma terna pitagórica. Se conseguirmos encontrar $ a $ e $ b $ inteiros tais que $ x^2+y^2=2(a^2+b^2) (*) $, então a equação do enunciado pode ser escrita como $ a^2+b^2=z^2 $.
Uma maneira interessante de escolhermos $ a $ e $ b $ satisfazendo $ (*) $ é nos basearmos em alguma fatoração envolvendo termos parecidos. Para isso, note que
$ (a+b)^2-(a-b)^2=2(a^2+b^2) $
Por isso é legal escolhermos $ a $ e $ b $ tais que
$ x=a+b $
$ y=a-b. $
Para isso, tomaremos
$ a=\frac{x+y}{2} $
$ b=\frac{x-y}{2}. $
Mas $ a $ e $ b $ são sempre inteiros? Para mostrarmos isto, basta mostrarmos que $ x+y $ e $ x-y $ são números pares. Isto equivale a provar que $ x $ e $ y $ possuem a mesma paridade. Esta última afirmação é verdadeira, pois $ x^2+y^2 $ é par.
Com isso, $ (a,b,z) $ formam uma terna pitagórica. Provemos que esta é uma solução primitiva. Comecemos mostrando que $ a $ e $ b $ são primos entre si.
Considere $ d=\operatorname{mdc}(a,b) $. Então $ d|a $ e $ d|b $, de onde segue que $ d|\frac{x+y}{2} $ e $ d|\frac{x-y}{2} $ e assim $ d|x $ e $ d|y $.
Além disso, $ d|a $ e $ d|b $ e com isso $ d^2|a^2 $ e $ d^2|b^2 $. Desta forma,
$ d^2|(a^2+b^2)=z^2 \Rightarrow d|z. $
Logo, $ d|\operatorname{mdc}(x,y,z)=1 $ e desta maneira $ d=1 $.
E como podemos mostrar que $ \operatorname{mdc}(a,z)=1 $? Se considerarmos $ k=\operatorname{mdc}(a,z) $, então
$ k|a \Rightarrow k^2|a^2 $
$ k|z \Rightarrow k^2|z^2=a^2+b^2 $,
de onde segue que
$ k^2|b^2 \Rightarrow k|b. $
Com isso, $ k|\operatorname{mdc}(a,b)=1 $, ou seja, $ k=1 $. Assim, $ a $ e $ z $ são primos entre si. Analogamente, $ b $ e $ z $ são primos entre si e, portanto, $ (a,b,z) $ é uma solução primitiva. Assim, existem inteiros positivos primos entre si de paridades opostas $ u $ e $ v $ tais que $ u>v $ e
$ a=u^2-v^2 $
$ b=2uv $
$ z=u^2+v^2. $
E quanto a $ x $ e $ y $?
$ x=a+b=u^2-v^2+2uv $
$ y=a-b=u^2-v^2-2uv. $
Logo, as soluções são da forma,
$ (x,y,z)=(u^2-v^2+2uv,u^2-v^2-2uv,u^2+v^2). $
