Ternas Pitagóricas

Sejam $a, b$ e $c$ números inteiros. Se $a^2+b^2=c^2$, chamaremos $(a, b, c)$ de terna pitagórica.

Definição

Dizemos que $(a, b, c)$ é uma solução primitiva da equação $a^2+b^2=c^2$ quando $a, b$ e $c$ são dois a dois primos entre si.

Proposição

Se $(a, b, c)$ é uma solução primitiva da equação $a^2+b^2=c^2$, então existem inteiros positivos primos entre si de paridades opostas $u$ e $v$ tais que $u>v$ e

$a=u^2-v^2$

$b=2uv$

$c=u^2+v^2.$

Exemplo (Cone Sul 1994)

Determinar infinitos termos $x, y, z$ de inteiros positivos que sejam soluções da equação $x^2+y^2=2z^2$, tais que o máximo divisor comum de $x, y, z$ seja $1$.

Solução: Seria legal se conseguíssemos mudar a equação do enunciado para termos uma terna pitagórica. Se conseguirmos encontrar $a$ e $b$ inteiros tais que $x^2+y^2=2(a^2+b^2) (*)$, então a equação do enunciado pode ser escrita como $a^2+b^2=z^2$.

Uma maneira interessante de escolhermos $a$ e $b$ satisfazendo $(*)$ é nos basearmos em alguma fatoração envolvendo termos parecidos. Para isso, note que

$(a+b)^2-(a-b)^2=2(a^2+b^2)$

Por isso é legal escolhermos $a$ e $b$ tais que

$x=a+b$

$y=a-b.$

Para isso, tomaremos

$a=\frac{x+y}{2}$

$b=\frac{x-y}{2}.$

Mas $a$ e $b$ são sempre inteiros? Para mostrarmos isto, basta mostrarmos que $x + y$ e $x-y$ são números pares. Isto equivale a provar que $x$ e $y$ possuem a mesma paridade. Esta última afirmação é verdadeira, pois $x^2 + y^2$ é par.

Com isso, $(a,b,z)$ formam uma terna pitagórica. Provemos que esta é uma solução primitiva. Comecemos mostrando que $a$ e $b$ são primos entre si.

Considere $d=\operatorname{mdc}(a,b)$. Então $d \mid a$ e $d \mid b$, de onde segue que $d \mid \frac{x+y}{2}$ e $d \mid \frac{x-y}{2}$ e assim $d \mid x$ e $d\mid y$.

Além disso, $d \mid a$ e $d \mid b$ e com isso $d^2 \mid a^2$ e $d^2 \mid b^2$. Desta forma,

$d^2 \mid (a^2+b^2)=z^2 \Rightarrow d \mid z.$

Logo, $d \mid \operatorname{mdc}(x,y,z)=1$ e desta maneira $d=1$.

E como podemos mostrar que $\operatorname{mdc}(a,z)=1$? Se considerarmos $k=\operatorname{mdc}(a,z)$, então

$k \mid a \Rightarrow k^2 \mid a^2$

$k \mid z \Rightarrow k^2 \mid z^2=a^2+b^2$,

de onde segue que

$k^2 \mid b^2 \Rightarrow k \mid b.$

Com isso, $k \mid \operatorname{mdc}(a,b)=1$, ou seja, $k = 1$. Assim, $a$ e $z$ são primos entre si. Analogamente, $b$ e $z$ são primos entre si e, portanto, $(a,b,z)$ é uma solução primitiva. Assim, existem inteiros positivos primos entre si de paridades opostas $u$ e $v$ tais que $u>v$ e

$a=u^2-v^2$

$b=2uv$

$z=u^2+v^2.$

E quanto a $x$ e $y$?

$x=a+b=u^2-v^2+2uv$

$y=a-b=u^2-v^2-2uv.$

Logo, as soluções são da forma,

$(x,y,z)=(u^2-v^2+2uv,u^2-v^2-2uv,u^2+v^2).$