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Um triângulo é um polígono de três lados. Podemos denotar um triângulo com vértices $ A $, $ B $ e $ C $ por $ \triangle ABC $.

Os ângulos $ \angle ABC $, $ \angle BCA $ e $ \angle CAB $ são chamados de ângulos internos do triângulo $ ABC $.

Seja $ ABC $ um triângulo e $ D $ um ponto no prolongamento do lado $ AC $ tal que $ A $ está entre $ C $ e $ D $. Então $ \angle BAD $ é um ângulo externo adjacente ao ângulo $ \angle BAC $.

Se $ ABC $ for um triângulo, dizemos que $ \angle A $ é oposto ao lado $ BC $.

O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus lados. Já o semiperímetro é a metade do perímetro. Este é geralmente denotado por $ p $.

Proposição Editar

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é $ 180^{\circ} $.

Classificação de um Triângulo Quantos Aos Lados Editar

Um triângulo $ ABC $ é isósceles de base $ BC $ se $ AB=AC $. Neste caso, $ BC $ é chamado de base e $ AB $ e $ CA $ são chamados de laterais.

Um triângulo é equilátero se possui todos os lados de mesmo tamanho. Cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede $ 60^{\circ} $.

Todo triângulo equilátero é isósceles.

Teorema do Triângulo Isósceles Editar

Se um triângulo $ ABC $ é isósceles de base $ BC $, então $ \angle ABC=\angle ACB $. Em outras palavras, em um triângulo isósceles, os ângulos da base possuem as mesmas medidas.

ObservaçãoEditar

Vale a recíproca do Teorema do Triângulo Isósceles, isto é, se $ \angle ABC=\angle ACB $, então o triângulo $ ABC $ é isósceles de base $ BC $.

Por Que Este Resultado é Importante? Editar

Porque você pode descobrir informações sobre ângulos mexendo com os lados (e vice-versa).

Classificação de um Triângulo Quanto aos Ângulos Editar

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto. Mais especificamente, a gente diz que $ ABC $ é um triângulo retângulo em $ A $ quando $ \angle BAC =90^{\circ} $.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois são chamados de catetos. A hipotenusa é sempre maior que cada um dos catetos.

Um triângulo é chamado de acutângulo se todos os seus ângulos são agudos, isto é, medem menos do que $ 90^{\circ} $.

Chamaremos um triângulo de obtusângulo se algum dos seus ângulos for obtuso, isto é, medir mais do que $ 90^{\circ} $.

Ponto Médio da HipotenusaEditar

Seja $ ABC $ um triângulo retângulo em $ B $. Se $ M $ é o ponto médio da hipotenusa $ AC $, então $ AM=BM=CM $.

DefiniçãoEditar

Seja $ ABC $ um triângulo e $ M $ o ponto médio do lado $ BC $. Então o segmento $ AM $ é chamado de mediana relativa ao lado $ BC $.

DefiniçãoEditar

Seja $ ABC $ um triângulo e $ D $ um ponto sobre a reta $ BC $. Dizemos que $ AD $ é altura relativa à $ BC $ (ou à $ A $) quando ela for perpendicular a $ BC $. Neste caso, $ D $ é chamado pé da altura relativa à $ A $ (ou à $ BC $).

Definição Editar

Seja $ ABC $ um triângulo e $ D $ um ponto pertencente ao lado $ BC $ tal que $ \angle BAD = \angle DAC $. Então o segmento $ AD $ é chamado de bissetriz interna relativa ao ângulo $ \angle A $ (ou relativa ao lado $ BC $).

Definição Editar

A bissetriz externa de um triângulo é a bissetriz de um ângulo externo.

Proposição Editar

(i) Em um triângulo isósceles, a mediana relativa à base também é bissetriz e altura.

(ii) Em um triângulo isósceles, a bissetriz relativa à base também é mediana e altura.

(iii) Em um triângulo isósceles, a altura relativa à base também é bissetriz e mediana.

ProposiçãoEditar

Sejam $ ABC $ um triângulo e $ X $ um ponto sobre o lado $ BC $.

(i) Se $ AX $ é uma mediana e uma altura, então o triângulo é isósceles.

(ii) Se $ AX $ é uma altura e uma bissetriz, então o triângulo é isósceles.

Observação Editar

Na proposição anterior, se $ AX $ é bissetriz e mediana, o triângulo não é necessariamente isósceles.

Teorema do Ângulo ExternoEditar

A medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.

Proposição Editar

O maior ângulo é oposto ao maior lado e o maior lado se opõe ao maior ângulo. Mais precisamente, se $ ABC $ é um triângulo, então $ \angle A $ é maior do que $ \angle B $ se, e somente se, $ BC>CA $.

Desigualdade Triangular Editar

Em um triângulo, a medida de um lado é menor que a soma das medidas dos outros dois.

ConsequênciaEditar

Se $ A,B $ e $ C $ são pontos quaisquer, então $ AC \leq AB+BC $. A igualdade vale se, e somente se, $ B $ pertence ao segmento $ AC $.

Quando Dá Para Construir Triângulos?Editar

Se $ a,b $ e $ c $ são números reais positivos com $ a,b \leq c $ e $ c<a+b $, então podemos construir um triângulo cujos lados são $ a,b $ e $ c $.

BibliografiaEditar

  • BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 11ª. ed. [S.l.]: SBM, 2012. 257 p.