Triângulos

Um triângulo é um polígono de três lados. Podemos denotar um triângulo com vértices $A$, $B$ e $C$ por $\triangle ABC$.

Proposição

A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.

Teorema do Ângulo Externo

A medida de um ângulo externo é igual a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.

Classificação de um Triângulo Quantos Aos Lados

Um triângulo $ABC$ é isósceles de base $BC$ se $AB=AC$.

Teorema do Triângulo Isósceles

Se um triângulo $ABC$ é isósceles de base $BC$, então $\angle ABC=\angle ACB$.

Observação

Vale a recíproca do Teorema do Triângulo Isósceles, isto é, se $\angle ABC=\angle ACB$, então o triângulo $ABC$ é isósceles de base $BC$

Classificação de um Triângulo Quanto aos Ângulos

Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto. Mais especificamente, a gente diz que $ABC$ é um triângulo retângulo em $A$ quando $\angle BAC = 90^{\circ}$.

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois são chamados de catetos. A hipotenusa é sempre maior que cada um dos catetos.

Ponto Médio da Hipotenusa

Seja $ABC$ um triângulo retângulo em $B$. Se $M$ é o ponto médio da hipotenusa $AC$, então $AM=BM=CM$.

Definição

Seja $ABC$ um triângulo e $M$ o ponto médio do lado $BC$. Então o segmento $AM$ é chamado de mediana.

Definição

Seja $ABC$ um triângulo e $D$ um ponto sobre a reta $BC$. Dizemos que $AD$ é altura relativa à $BC$ (ou à $A$) quando ela for perpendicular a $BC$. Neste caso, $D$ é chamado pé da altura relativa à $A$ (ou à $BC$).

Definição

A bissetriz externa de um triângulo é a bissetriz de um ângulo externo.

Proposição

Sejam $ABC$ um triângulo e $X$ um ponto sobre o lado $BC$.

(i) Se $AX$ é uma mediana e uma altura, então o triângulo é isósceles.

(ii) Se $AX$ é uma altura e uma bissetriz, então o triângulo é isósceles.